Musbat ratsional sonlar to’plami
Kesmalarni o’lchash.Matematika aksariyat hollarda asosiy ikkita masala – chekli to’plam elementlari sonini hisoblash va kattaliklarni o’lchashda qo’llaniladi. Chekli to’plam elementlarini hisoblashda javob natural son bilan ifodalanadi: to’rtta tarvuz , sakkizta mashina , 3 bo’lak gazmol.bunda tarvuz massalar har xil bo’lishiga , gazmol bo’laklari turli uzunlikdaligiga , mashinalar har xil yuk ko’tara olishligiga e’tibor berilmaydi. Biroq bu bo’laklardagi gazmollar to’rtta odamga kastyum tikishga yetish yetmasligini aniqlash uchun har bir bo’lak gazmol uzunligini o’lchash kerak . Umuman, kattaliklarni o’lchash, ya’ni bu kattaliklarni o’lchovning birorta o’lchov birligi – metr, kilogramm va h.k. bilan taqqoslash va taqqoslash natijasini son bilan ifodalash inson faoliyatining turli sohalarida keng uchraydi.
Agar o’lchanayotgan kattalikni o’lchiv birligiga teng bir necha qism bo’lakka bo’lish mumkin bo’lsa, o’lchov natijasi natural son bilan ifodalanadi. Biroq, ko’pincha o’lchov birligi o’lchanayotgan kattalikka butun son marta joylanmaydi. Shuning uchun kattalik o’lchovini ifodalashda natural sonlardan farqli sonlar kiritiladi va son tushunchasi kiritiladi.
Biz bu bobda sonlar to’plmining turli xillarini qaraymiz, bunda avval musbat sonlar to’plami Q , keyin musbat haqiqiy sonlar to’plami R + va haqiqiy sonlar to’plami R qaraladi. Bunda sonlarning har bir ko’rinishi qo’shish va ko’paytirish mallari ta’riflanadi, bu ta’riflarda o’lchanayotgan kattaliklar va o’lchov birliklari ustida aniq amallarning qanday bajarilishi ifodalanadi. Ratsional sonlarni kiritish yo’llari va ularning xossalari.
Hamma musbat va manfiy sonlar: butun, kasr sonlar, nol, shuningdek cheksiz davriy kasrlar – ratsional sonlardir. Davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasrlar yordamida ifoda qilinadigan sonlar irratsional sonlar deb ataladi. Har qanday ratsional sonni ikki butun sonning nisbati deb qarash mumkin:
c = (b ≠ 0).
Misol. 3= ; ‒ 4,5= .
Shuni aytib o’tamizki, ratsional sonlarni cheksiz davriy o’nli kasrlar tarzida tasvirlash mumkin:
= 0,3333…
= 0, (285714).
Aksincha: har qanday cheksiz davriy kasr ratsional sondir, chunki u sonni o’nli kasrga aylantirish mumkin, masalan: 0,366…= = =
Ratsional sonlar ustida to’rt arifmetik amal bajarish natijasida ( 0 ga bo’lishdan tashqari) yana ratsional sonlar hosil bo’ladi, ya`ni bu amallar bizni ratsional sonlar to’plamidan tashqariga chiqarmaydi va yangi sonlar kiritishni talab qilmaydi Biz yuqorida har bir ratsional sonni chekli uzluksiz kasrga yoyish mumkinligini ko’rib o’tdik. Endi masalani aksincha qo’yamiz. Har bir chekli uzluksiz kasr biror ratsional sonni ifodalaydimi? Bu masalani hal etishda ratsional sonning munosib kasrlari deb ataluvchi
δ 1 =q1 δ 2 = q1 + , δ 3= q1+ ,… (1)
kasrlar muhim rol o’ynaydi. Bu yerda
bo’lganidan n-munosib kasr b a ratsional sonning o’zi bo’ladi. Istalgan munosib kasrni hisoblash uchun P0 =1,Q0 = 0,P1 = q1,Q1 =1 deb quyidagilarni yozib olamiz:
Matematik induksiya prinsipiga asosan
(2)
ni yozib olamiz .Bu yerda
(3)
(2) bog’lanish munosib kasrni hisoblash uchun xizmat qiladigan rekkurent fo’rmuladir. Quyidagi sxema istalgan va sonlarni hisoblashga imkon beradi.
Ta’rif. O’zaro teng bo’lgan bir nechta ko’paytuvchilarning ko’paytmasi daraja deyiladi: =an
Takrorlanuvchi ko’paytuvchi a - daraja asosi deyiladi, asosning ko’paytuvchi sifatida necha marta takrorlanishini ko’rsatuvchi son n - darajaning ko’rsatkichi deyiladi.
a soning ikkinchi darajasi shu sonning kvadrati, uchinchi darajasi esa kubi deyiladi. Ishoralar qoidasi. Musbat yoki manfiy sonning toq darajasi musbat sondir; musbat soning toq darajasi musbat sondir, manfiy soning toq darajasi manfiy sondir:
(±a)2n=a2n (a>0) ,
(±a)2n+1=±a2n+1 (a>0).
Bunda 2n – juft sonning umumiy yozilishi, 2n+1 esa manfiy sonning umumiy yozilishidir.
Do'stlaringiz bilan baham: |