O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

2-3-§. Funksional ketma-ketliklarni hadlab integrallash.

[a,b] segmentda

funksional ketma-ketliklar berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi f(x) bo’lsin.

Teorema:

Agar funksional ketma-ketlikning (n=1,2,..) xar bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz bo’lib, bu funksional ketma-ketlik [a,b] da teksi yaqinlashuvchi bo’lsa u holda

Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’ladi, uning limiti esa ga teng bo’ladi, ya’ni

(8)

Bu teoremadagi (8) limit munosabatni quyidagicha

xam yozish mumkin.

2-4-§. Funksional ketma-ketliklarni hamda funksional qatorlarni hadlab diferensiallash

Funksional qatorlarni hadlab differensiallash: [a,b] segmentda yaqinlashuvchi

funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi S(x) bo’lsin:

Teorema: Agar funksional qatorning har bir (n=1,2,…) xadi [a,b] segmentda uzluksiz (n=1,2,…) hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan

Funksional qator [a,b] da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda berilgan funksional qatorning S(x) yig’indisi shu [a,b] segmentda xosilaga ega va

bo’ladi.

Isbot. Shartga ko’ra

funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi. Uning yig’indisini S(x) deylik: . Bu teoremaga asosan [a,b] segmentda uzluksiz bo’ladi.

Funksional qatorni hadlab integrallash xaqidagi teoremadan foydalanib, ushbu

Qatorning [a,x] oraliq (a

Modomiki, funksiya [a.b] segmentda uzluksiz ekan

funksiya diferensiallanuvchi bo’lib, uning xosilasi

bo’ladi.

Ikkinchi tomondan (10) tenglikka ko’ra

ya’ni

Bo’lishini topamiz. Bu esa funkisonal qator yig’indisi xosilaga ega va uning uchun tenglik o’rinli bo’lishini bildiradi.

Yuqoridagi tenglikni quyidagicha xam yozish mumkin.

Bu esa teoremani shartlari bajarilganda cheksiz qatorlarda xam xadlab differensiallash qoidasi o’rinli bo’lishini ko’rsatadi.

Eslatma: Teoremadagi funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanlik sharti xam yetarli bo’lib, u zaruriy shart emas.

Funksional ketma-ketlikni hadlab differensiallash: [a,b] segmentda yaqinlashuvchi :

, , ,……, ,….

funksional ketma-ketlik berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi f(x) bo’lsin.

Teorema: Agar funksional ketma-ketlikning xar bir hadi (n=1,2,…) [a,b] segmentda uzluksiz (n=1,2,…) hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan

funksional ketma-ketlik [a,b] da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa u holda f(x) limit funksiya shu [a,b] da xosilaga ega bo’lib, ketma-ketlikning limiti ga teng bo’ladi.