O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

2.3. Haqiqiy sonlarning Dedekind nazariyasi

Bu nazariya ratsional sonlar to’plami Q ning tartiblanganligiga asoslangan. Q ni bo’sh bo’lmagan va kesihsmaydigan ikkita A va B sinflarga ajratamiz:

Agar har bir xєA B dagi har bir y dan kichik bo’lsa, Q ni bunday ajratish kesim deyiladi va A/B kabi belgilanadi. A-kesimning quyi sinfi, B esa yuqori sinfi deyiladi.

Misollar. 1) deylik. U holda

Q ni bunday ajratish kesimdir. 7єB va 7 B dagi eng kichik sondir, ammo A da eng katta son yo’q. Bunday aєQ son bor desak a<7 bo’lgani uchun a va 7 orasida ratsional son a₁ ni ko’rsatish mumkin, a1<7; natijada a₁ eng katta son bo’lib qoladi- zidlikka keldik.

2) deylik. Q ni bunday ajratish ham kesimdir. Bu holda quyi sinfda eng katta son bor -7; yuqori sinf B da esa eng kichik son yo’q. Bu 1-misoldagi kabi ko’rsatiladi.

3) bo’lsin. Q nib u usulda ajratish kesimdir. Bu holda quyi sinf A da eng katta va yuqori sinf B da eng kichik son yo’q. Haqiqatan ham, qєA bo’lsa, q²<7. Shunday natural son n mavjudki, q²<7 tengsizlikni qanoatlantiruvchi q bilan A ga ha tegishli bo’ladi. Shunday qilib, qєA A da eng katta son desak, undan katta bo’lgan son topiladiki, u ham A ga tegishli. Demak, A da eng katta son yo’q. Yuqori sinfi B da eng kichik son yo’qligi ham shu kabi isbotlanadi. Quyi sinf A da eng katta a, shu vaqtning o’zida yuqori sinf B da eng kichik son b bo’lgan kesim mavjud emas. Teskarisini faraz qilaylik, bunday kesim bor bo’lsin, a va b orasida yotuvchi biror ratsional son c ni olamiz: a

Shunday qilib, Q da bajariladigan kesimlar faqatgina uch xil bo’lishi mumkin.

1. Quyi sinf A da eng katta son yo’q, yuqori sinf B da eng kichik son bor

2. Quyi sinf A da eng kaatta son bor, yuqori sinf B da eng kichik son yo’q

3. Quyi sinf A da eng katta son yo’q, yuqori sinf B da eng kichik son yo’q.

1- va 2- hollarda A/B kesim biror ratsional q sonni aniqlaydi deymiz va q kabi belgilaymiz. 3- holda A/B kesim biror irratsional son α ni aniqlaydi deymiz va kabi belgilaymiz. Bu holda A va B sinflar orasida “chegaraviy” ratsional son yo’q, “chegaraviy” son rolini irratsional α soni o’ynaydi.

1- va 2- misollarda kesim ratsional son 7 tomonidan bajariladi, 3- misolda kesimni irratsional son bajaradi.Barcha ratsional va irratsional sonlar to’plami haqiqiy sonlar to’plami deylik, uni avvalgidek, R bilan belgilaymiz.

bo’lsin. Ravshanki A=A′ bo’lsa, u holda B=B′ bo’ladi va aksincha.

Ta’riflar. 1. Agar A=A′ bo’lsa va faqat shu holdagini α=β deyiladi. Shunday qilib, ikkita haqiqiy son teng bo’lishi uchun ular bajargan kesimlar ustma-ust tushishi zarur va yetarlidir.

2. Agar .

3. Agar . β<α bo’lsa va faqat shu holdagina α>β deyiladi. Demak, uchun ushbu α=β,α>β,α<β munosabatlardan faqat bittasi o’rinli bo’ladi.

Lemma. α,βєR va α>β bo’lsin. U holda bu sonlar orasida kamida bitta haqiqiy sonlar, jumladan ratsional sonlar bor.

Haqiqiy sonlar to’plamining uzluksizligi. Haqiqiy sonlar to’plami R ni bo’sh bo’lmagan va kesishmaydigan ikkita sinfga ajratamiz:

Agar R₁ dagi har bir α soni R₂ dagi har bir β sondan kichik bo’lsa, R ni bunday haqiqiy sonlar to’plamidagi kesim deyiladi.

Bu ma’nodagi kesimni bajaruvchi haqiqiy son R₁ va R₂ to’plamlar orasidagi chegaraviyson hamma vaqt ham mavjudmi?

Dedekind teoremasi.R dagi har qanday kesimni biror α haqiqiy son bajaradi. Bu α son:

1) yoki quyi sinf R₁ da eng katta

2) yoki yuqori sinf R₂ da eng kichik bo’ladi.

Haqiqiy sonlar to’plamining bu xossasi uning uzluksizligi deyiladi.

Haqiqiy sonlar ustida amallar. deylik. Agar barcha q₁єR₁ , q₂єR₁′ r₁єR₃ , r₂єR₂′ ratsional sonlar uchun q₁+q₂ ≤γ≤r₁+r₂ tengsizliklar o’rinli bo’lsa, γ haqiqiy son α va β sonlarning yig’indisi deyiladi. va γ=α+β kabi belgilanadi. Musbat haqiqiy sonlardan ildiz chiqarish, ularni logarifmlash, darajaga ko’tarish amallarini ham yuqoridagi kabi tariflash mumkin.

Dedekind nazaryasi bo’yicha aniqlangan haqiqiy sonlar to’plami, ularni ustida kiritilgan qo’shish, ko’paytirish amallari “>” munosabati haqiqiy sonlarning aksiomatik nazariyasidagi I-VI gruppa xossalariga ega ekanini isbotlash mukin.