O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

1.3. Ratsional sonlar to’plamini kengaytirish zarurligi

Biz avvalgi bandda har bir ratsional songa to’g’ri chiziqda bitta nuqta (ratsional nuqta) mos qo’yilishini ko’rib o’tdik. Ammo to’g’ri chiziqda shunday nuqtalar borki, ular birorta ham ratsional songa mos qo’yilgan bo’lmaydi. Shuni ko’rsataylik.

Tomoni bir birlikka teng bo’lgan OABC kvadratni qaraylik. Bu kvadratning diagonali OB ning uzunligi ga teng. Sirkulning uchini O nuqtaga qo’yib, radiusi OB ga teng bo’lgan aylana chizaylik. Bu aylana OA tomon joylashgan to’g’ri chiziqni D nuqtada kesadi. OA

1-teorema. Ratsoinal sonlar to’plami Q da kvadrati 2 ga teng bo’lgan ratsional son mavjud emas.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni Q to’plamda shunday qisqarmaydigan kasr ko’rinishida yozilgan ratsional son borki, bu son uchun

tenglik o’rinli bo’lsin. Bu tenglikni p²=2n² kabi yozib olamiz. Bundan p juft son ekanligi ko’rinadi. Demak, p=2m (mєZ), p ning qiymatini p²=2n² ga qo’yib n²=2m² tenglikni hosil qilamiz. Bu esa n sonning ham juft son ekanligini ko’rsatadi. Demak, yuqoridagi farazdan p va n lar juft sonlar ekanligi kelib chiqadi. Binobarin, ular uchun 2 umumiy ko’paytuvchi. Bu esa kasrning qisqarmas kasr ekanligiga zid.

Shunday qilib, to’g’ri chiziqda olingan har bir nuqta Q to’plamda unga mos keladigan ratsional son mavjud bo’lavermas ekan. Agar to’g’ri chiziqni chizib, unda ratsional sonlarda mos nuqtalarni biror rangda bo’yasak, shu to’g’ri chiziqda bo’yalmay qolgan nuqtalarni ham ko’ramiz. Demak, ratsional sonlar to’plamiga yangi tipdagi sonlarni qo’shib, uni shunday kengaytirish kerakki, bir tomonda, sonlarning bu kengaytirilgan to’plamida x²-2=0 tenglamani yechish va shunga o’xshash ko’pgina masalarni hal qilish mumkin bo’lsin.

Ratsional sonlar to’plamini kengaytirishda bir-biriga ekvivalent bo’lgan bir necha usullar mavjud (Koshi usuli, Kantor usuli, Veyershtrass usuli hamda Dedekin usuli). Biz quyida Dedekin usulini keltiramiz.

Natural sonlar insonning sanashga bo’lgan ehtiyoji natijasida vujudga keldi. Natural sonlar to’plami qo’shish, ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq to’plamdir. Natural sonlar to’plami barcha butun sonlar to’plami Z gacha kengaytirildi. Endi Z to’plam qo’shish, ko’paytirish, ayirish amallariga nisbatan yopiq to’plam, biroq bu to’plamda hali bo’lish amalini bajarish , umuman aytganda mumkin emas. Ammo turli kattaliklarni, miqdorlarni o’lchash masalasi N dagi ikki sonning nisbatini- garchi bu musbat butun son bo’lmasa-da –o’zgarishni taqazo qiladi.

Q to’plam qo’shish, ko’paytirish, ayirish va bo’lish (noldan farqli songa) amallariga nisbatan yopiq. Q-tartiblangan, zich, sanoqli to’plam. Ratsional sonlar to’plami ham matematikaning amaliy hamda nazariy masalalarini hal etishdagi ehtiyojlarni qanoatlantira olmadi. Q to’plamni kengaytirish zarurligini ko’rsatuvchi ayrim masalalar bilan tanishaylik.

1. n, kєN va k≠n² bo’lsin. U holda x²=k tenglama Q da yechimga ega emas, ya’ni k≠n² bo’lsa, kvadrati k ga teng bo’lgan ratsional son yo’q. Teskarisini faraz qilamiz: bo’lsin, p,qєQ va (p,q)=1, p va q, va p²,q² ham, umumiy bo’luvchiga ega bo’lmasin, aks holda shu umumiy bo’luvchiga qisqartiramiz. , bundan p² ning k ga qoldiqsiz bo’linishi kelib chiqadi, demak p²=mk, mєN. U holda mk=kq², m=q². Shunday qilib, (p²,q²)=m, bu esa farazimizga zid. Demak k≠n² bo’lganda x²=k tenglamaning ildizi son ratsional emas:

Xo’sh, bu yangi son qanday son ? Uning tabiati qanday ? Bu savollarga javob berish uchun Q to’plamni kengaytirish kerak.

2. Juda ko’p geometrik masalalar, jumladan, jismlarning hajmlarini, yuzalarini, uzunliklarini o’lchash masalasi ham Q ni kengaytirishni taqazo qiladi.

AB va CD kesmalar berilgan bo’lsin. O’lchov birligi sifatida CD kesmaning uzunligini olaylik. Har bir AB kesmaga uning uzunligi deb atalgan tayin bir musbat sonni mos qo’yish mumkin, ya’ni barcha kesmalar to’plami da aniqlangan, musbat qiymat qabul qiluvchi φ funksiyalarni qarashimiz mumkin. Bu funksiya ushbu xossalarga ega bo’lishini talab qilamiz: uchun

1⁰. φ(AB)>0.

2⁰. AB=EF bo’lsa, φ(AB)=φ(EF) ( teng kesmalar teng uzunlikka ega).

3⁰. Agar K nuqta AB kesmada yotsa, ya’ni AB=AK+KB bo’lsa, u holda φ(AB)=φ(AK)+φ(KB) (o’lchovning additivligi- AB kesma uzunli AK va KB kesmalar uzunliklarining yig’indisiga teng.)

4⁰. Birlik kesma CD ning uzunligi 1 ga teng: φ(CD)=1.

Hozirgina ko’rdikki yuzi k≠n², nєN bo’lgan kvadrat tomonining uzunligi ratsional son bilan ifodalanmas ekan. Bundan esa kvadratning tomoni bilan uning diagonali umumiy o’lchovga ega emasligi kelib chiqadi. Demak uzunligi ratsional son bilan ifodalanmaydigan kesmalar mavjud, ya’ni da shunday kesmalar borki,

φ funksiyaning bu kesmalarga mos qiymati ratsional son emas. Modomiki, kvadratning tomoni uzunligi ratsional son bo’lmasa, binobarin, cheksiz davriy o’nli kasr shaklida ifodalanmasa, real bir kesma sifatida unga biror uzunlik- tayin bir musbat son mos kelishi kerak-ku! Xo’sh bu qanday son? Bu uzunlik davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasr bilan ifodalanadi:

, a₁,a₂,a₃,…- sonlardan kvadrat ildiz chiqarish qoidasiga binoan, ixtiyoriy natural son m ga sonining m- razriyadida turgan aniq bir a_m raqam mos keladi. Ammo Q da davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasrlar yo’q. Demak, o’lchovdosh bo’lmagan kesmalarning uzunliklari haqidagi masalani hal etish uchun Q ni kengaytirish kerak ekan.

3. Analizning ko’pgina masalalari ham Q ni kengaytirish zaruratini tug’diradi. Avvalo, ratsional sonlar x₁,x₂,x₃…. Ketma-ketligining limiti ta’rifini eslatib o’tamiz. Agar ixtiyoriy musbat ratsional Ɛson uchun shunday natural son N(Ɛ) mavjud bo’lsaki, n>N(Ɛ) lar uchun tengsizlik bajarilsa {x_n} ketma-ketlik ratsional son a ga yaqinlashadi deyiladi. a son esa {x_n}ketma-ketlikning limiti deyiladi. Hadlari Q da bo’lgan ikkita ketma-ketlik berilgan bo’lsin:

va y₁=2,5, y₂=2,55,y₃=2,550, y₄=2,5505,…. 5 lar 1,2,2²,2³,…,2ⁿ,… o’rinlarda bo’lib, ular orasida nollar yozilgan. Bu ketma-ketliklar monotan o’suvchi va chegaralangan bo’lgani uchun, Veyershtrass teoremasiga ko’ra, ularning limitlari mavjud. X_n ketma-ketlikning limiti , ammo y_n ketma-ketlikning, garchi uning barcha hadlari Q ga tegishli bo’lsa ham, limiti Q ga tegishli emas. Xuddi shuningdek dan kvadrat ildiz chiqarish qoidasiga asosan hosil qilingan, hadlari Q da bo’lgan z₁=1,4 ; z₂=1,41; ,… ketma-ketlik ham Veyershtrass teoremasiga ko’ra limitga ega bo’lishi kerak, ammo o’sha limit Q ga tegishli emas. Demak, Q limitga o’tish amaliga nisbatan umuman aytganda, ochiq ekan. Shunday qilib faqat ratsional sonlar to’plamida qolsak, u holda Veyershtrass teoremasi umuman aytganda o’rinli bo’lmay qoladi. Xo’sh, y_n , z_nketma-ketliklarning limitlari bo’lgan sonlar qanday sonlar? Agar hadlari Q da bo’lgan, ammo limitlari Q bo’lmagan barcha ketma-ketliklarning limitlarini ratsional orasidagi “bo’sh o’rinlar” ga, ma’lum bir qoidaga asosan, joylashtira olsak, undagi bo’sh o’rinlar to’ladimi?

Haqiqiy sonlarning qat’iy matematik nazaryasigina yuqorida qo’yilgan savollarga aniq javob beradi.