O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi abu rayhoh beruniy nomidagi

1. Darajali qatorning yaqinlashish intervalini (yoki yaqinlashish radiusini) topish.
(1) darajali qatorni
|a₀||a₁||x||a₂||x|²|a₃||x|³...|a_n||x|ⁿ... (6)
ko’rinishda yozib olamiz. Bu qator musbat hadli qator bo’lgani uchun uning yaqinlashishini Dalamber alomatiga ko’ra aniqlaymiz. Faraz qilaylik, quyidagi limit mavjud bo’lsin:
un1 an1xn1 an1

nlim un  nlim| anx_n | nlim| an ||x| L|x|

Unda agar L|x|<1 bo’lsa, ya’ni |x|<1/L yoki -1/LL intervalda qator absolyut yaqinlashadi.
Agar L|x|>1 bo’lsa, ya’ni |x|>1/L yoki -1/L>x va x>1/L intervallarda qator uzoqlashadi. Yaqinlashish radiusi
1 a_n

R L  nlim|an1 |

formulaga ko’ra topiladi. Shunga o’xshab R ni Кoshi alomatini qo’llab ham
1

topish mumkin: R limn |an| ;
n
x 22 x2 32x3 42x4 n2xn

Misol.  ₂  ₃  ₄ ... _n ... darajali qatorning
2 2 2 2 2
yaqinlashish intervali topilsin.

n² (n1)² 2 2

Yechish. Bu yerda a_n  _n , a_n1  _n1 , demak,
^a_n n2 2n1

R nlim|an1 | nlim 2_n (n1)₂  2

Javob. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish intervali
-2<x<2 tengsizlikdan iborat. Intervalning chegaralarida qator uzoqlashadi.
2. Teylor va Makloren qatorlari.
Agar y=f(x) funksiya x=a nuqtaning atrofida (n+1)-nchi tartibgacha hosilaga ega bo’lsa Teylor formulasi deb ataluvchi
f (x)  f (a)  x  a f | (a)  (x  a)2 f || (a) ...
1! 2!
(x  a)n ⁽ⁿ⁾ (a)  R_n(x). (1)
 f n!
formula bizga ma’lum, bu yerda
(x a)n1 (n1)
R_n(x)  f [a (x a)]
(n 1)!
qoldiq had edi, 0<<1.
Agar f(x) funksiya x=a nuqtaning atrofida istalgan tartibgacha hosilaga ega bo’lsa, Teylor formulasidagi n istalgancha katta qilib olinishi mumkin. Faraz qilaylik limR_n(x)  0 bajarilsin, u holda (1) formulada n da
n
limitga o’tib, o’ng tomonda qator hosil qilinadi va u Teylor qatori deb ataladi:
x a | (x a)2 || (x a)n (n)
f (x)  f (a)  f (a)  f (a)... f (a)... (2)
1! 2! n!
(2) tenglik limR_n(x)  0 bajarilgandagina o’rinlidir.
n
Agar Teylor qatorida a=0 desak uning xususiy ko’rinishi bo’lgan Makloren qatori hosil bo’ladi:
x | x 2 || xn (n)
f (x)  f (0)  f (0)  f (0)... f (0)... (3)
1! 2! n!
Berilgan f(x) funksiyani Teylor qatoriga yoyish uchun:
a) f(x) funksiyaning barcha tartibdagi hosilalarining x=a nuqtadagi qiymatlari hisoblanadi va Teylor qatorining yoyilmasiga olib borib qo’yiladi; b) hosil bo’lgan qatorning yaqinlashish sohasi topiladi.
Misol. f(x)=2^x funksiya x ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyilsin.
Yechish. a) 2^x funksiyaning barcha tartibdagi hosilalarini x=0 nuqtadagi qiymatlarini topamiz:
f(x)=2^x, f(0)=1; f^|(x)=2^xln2, f^|(0)=ln2; f^||(x)=2^xln²2, f^||(0)=ln²2;
...................................................... f⁽ⁿ⁾(x)=2^xlnⁿ2, f⁽ⁿ⁾(0)=lnⁿ2;
......................................................
Endi topilgan qiymatlarni (3) ifodaga qo’yib, 2^x funksiya uchun x ning darajalari bo’yicha Teylor qatorini hosil qilamiz:

x ln2 ln² 2 2 lnⁿ 2 n 2  1 x x ... x ...
1! 2! n!
b) hosil bo’lgan qatorning yaqinlashish sohasini topamiz: a_n lnⁿ 2(n1)!

^R n^lim^|an1 ^| n^lim n!ln_n1 2 ^ dan ko’rinadiki topilgan qator x ning har qanday qiymatlarida yaqinlashadi.
3. Asosiy funksiyalar yoyilmasining jadvali:
 n 2 3 4 x x x x

1.e ^n0 n!  1x 2!  3!  4! ... (|x|); _x
 (1)n1x2n1 x3 x5

2. 
   sin x^n1 (2n_1)! x 3!  5! ... (| x |);
   

 (1)nx2n x2 x4 x6

2. 
   cos x^ (2n)! 1 2!  4!  6! ... (| x |);
   

n 0
1  ⁿ 1xx² x³ x⁴ ... (| x |1);

2. 
   = ^x 
   

1- x n0

2. 
   (1_x)m =1+n^1 m(m1)(mn2!)...(mn1)xn =
   

=1+ mx m(m1) x2  m(m1)(m 2) x3 +... (| x |1)
2! 3!
(binomial m-istalgan haqiqiy son);
 (1)n1xn x2 x3 x4

2. 
   ln(1 x) ^ n  x  2  3  4 ... (1 x 1);
   

n 1
 (_1)n1x2n1 x3 x5 x7

2. 
   arctgx ^ 2n _1  x  3  5  7 ... (| x |1);
   

n 1
4. Qatorlar yordamida taqribiy hisoblashlar.
f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymatini taqribiy hisoblash uchun bu
funksiya darajali qatorga yoyiladi va yoyilmadagi x lar o’rniga x₀ qiymat qo’yiladi. Shundan keyin f(x₀) qiymatni kerakli aniqlikda hisoblash uchun qatorning zarur sondagi boshlang’ich hadlari olinadi. Masalan, arcsin1/10 ni hisoblash uchun arcsinx funksiyani darajali qatorga yoyish (x ning darajalari bo’yicha) va undagi x lar o’rniga 1/10 qiymatni qo’yish kerak.

4-misol. ⁴ e 0,00001 aniqlikda hisoblansin.

10. x2 x3 xn

Yechilishi. e 1x  ...  ; yoyilmada x=1/4 deb
2! 3! n!
olamiz:
e1/4 1 3 4 ...
4 3! 4 4!
|x|n1
Ushbu hisoblashda |x|<n+1 lar uchun qilinadigan xatolik |R_n| n!(n 1|x|)
tengsizlikdan topiladi.
Agar n=4 deb, beshta hadni olsak ko’rilayotgan hisoblashdagi xatolik 0,00001 dan oshmaydi:
41
x 1
R_n   ₅  0,00001
4!(4 1 x) 4 4!(51/ 4)
5-misol. cos1^o 0,0001 aniqlikda hisoblansin.
Yechilishi. Кosinusning taqribiy qiymatlarini hisoblashda
x2 x4 _n x2n
cosx1  ...(1)
2! 4! (2n)!
formuladan foydalaniladi. Bunda qilinadigan xatolik
_x2n2
|R2n|
(2n 2)!
tengsizlikdan topiladi.
Demak, cos1⁰ ^{cos } bo’lgani uchun kosinusning yoyilmasida
180

x deb birinchi ikkita hadni olsak, 180
2 cos1⁰ 1 ^2  0,9998 180 2!
hosil bo’ladi. Bunda qilingan xatolik nihoyatda kichikdir:
4 4
 4 1
|R₂| ₄  ₄  ₂  0,0000001.
180  4! 180  4! 45  24