Особенности фильтрации неньютоновских жидкостей

Рис. 2. Эпюра скоростей вязкопластичной жидкости при движении в капилляре


Рис.3.Индикаторные линии: 1 — для неньютоновской жид­кости; 2 — ее линейная аппроксимация; 3 — зависимость по закону Дарси


Введем понятие кажущейся вязкости как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (4), эта величина

и так как , то убывает с возрастанием градиента скорости.
3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (4), но при . Кривая течения представлена на рис. 1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.
Рассмотрим наиболее простой случай среды с неньютоновскими свойствами: стационарное движение вязкопластичной жидкости в одной поре как в капиллярной трубке постоянного радиуса. Распределение скоростей в некотором сечении трубки представлено на рис. 2. На некотором расстоянии от оси трубки касательное напряжение , что выражается равенством (3), где , причем при . Расстояние определяется из условия равновесия жидкого цилиндрического слоя (см. рис. 2):

откуда
(5)
Предположим, что в (5) найдем наибольший перепад давления , при котором вязкопластичная жидкость находится в предельном равновесии, отвечающем полному прекра­щению движения в данной поре. Тогда из (5) найдем
(6)
Это предельное значение определяет тот градиент давления , по достижении которого начинается движение жидкости. При меньших значениях градиента движение отсутствует. Если учесть, что характерный размер пор пористой среды (где — проницаемость, см. § 7, гл. 2), то из (6) находим:
(7)
Величина называется предельным (начальным) градиентом. Если для исследуемого фильтрационного течения такое предельное значение существует, то говорят о фильтрации с предельным (начальным) градиентом.
Соответствующий закон фильтрации вязкопластичной жидкости в пористой среде был сформулирован в гл. 1 и получен из соображений размерности в § 7, гл. 2:

(8)
В соответствии с (8) скорость фильтрации отлична от нуля только в тех областях, где (рис. 3, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 3. Для сравнения на рис. 3 показан закон Дарси (кривая 3).
В пористой среде, состоящей из множества микрокапилляров различных диаметров, при снижении перепада • давления начинается постепенное «закупоривание» капилляров. В соответствии с формулой (6) вначале движение прекращается в наиболее мелких капиллярах (порах), а по мере снижения давления происходит закупоривание все больших и больших капилляров. Чем сильнее разброс размеров пор, тем больше растянут переход к полному прекращению движения и тем сильнее отличается истинный закон фильтрации от соотношения (8).
В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы. Важно, однако, что неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.
Рассмотрим это на примере пласта со слоистой неоднородностью. В слоистых пластах предельные градиенты различны для разных пропластков. Как следует из (7), чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент , и наоборот.
Предположим, что для каждого пропластка справедлив закон фильтрации типа (8) с предельным градиентом:
если (9)
если .
Здесь индекс соответствует характеристикам -го пропластка.
Для определенности рассмотрим пласт, состоящий из трех про- пластков различной проницаемости: тогда . Будем предполагать, что пропластки идеально сообщаются между собой, т. е. можно пренебречь изменением давления по толщине. Это эквивалентно допущению, что возникающие между отдельными пропластками разности давлений быстро выравниваются за счет обмена жидкостью между слоями. Усредняя в этом пред­положении скорость фильтрации по суммарной толщине Н слоистого пласта и используя (9), находим среднюю скорость фильтрации


(10)
Здесь номер пропластка , до которого ведется суммирование, определяется из условия
(11)



Рис. 4. Зависимость от :1 — кусочно-линейная (в слоистом пласте); 2 — при непрерывном изменении проницаемости


Отсюда следует, что пропластки будут последовательно включаться в работу. Если , то движение отсутствует во всем пласте . Если , то фильтрация будет только в первом пропластке, и т. д. Следовательно, соотношение (10) представляет собой кусочно-линейный закон фильтра­ции, описываемый выпуклой к оси абсцисс ломаной линией (кривая 1 на рис. 4). Отсюда легко перейти к случаю, непрерывно изменяющейся проницаемости по толщине пласта (кривая 2 на рис. 4). В обоих случаях закон фильтрации имеет прямолинейный участок в области больших скоростей.
В соответствии с кусочно-линейным законом (9) фильтрацию жидкости с предельным градиентом в слоистом пласте можно рассматривать как движение в однородном пласте со средней скоростью фильтрации
Наряду с рассмотренными законами фильтрации (8) и (10), описывающими течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают степенной закон фильтрации:
(12)
где — экспериментальная константа; .
Степенной закон (12), соответствующий псевдопластичному флюиду (4), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете «полимерного» заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.
ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ
ЖИДКОСТИ
Движение аномальных нефтей в пластах по закону (8) приводит к существенным особенностям разработки этих пластов, не встречающимся в случае фильтрации по закону Дарси.