Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

Глава 2. Основные теоремы

2.1 Теорема Дезарга

Дополнение обычной плоскости бесконечно удалённой прямой позволяет в целом ряде случаев не отличать параллельные прямые от пересекающихся и этим придаёт единообразие формулировкам и доказательствам теорем.

С другой стороны, поскольку проективная плоскость получается из обычной прибавлением прямой, то, приняв какую-либо прямую на проективной плоскости за бесконечно удалённую, получаем обычную аффинную плоскость. Тогда теорема проективной геометрии сводится к теореме аффинной геометрии, и её можно доказывать, пользуясь аффинной и даже евклидовой геометрией.
проективный геометрия окружность планиметрия

Пример, демонстрирующий пользу обоих сделанных замечаний, представляет теорема Дезарга. Формулируем её для проективной плоскости (рисунок 10).

Теорема 1. Пусть у двух треугольников вершины и соответственно стороны приведены в соответствие. Тогда если при этом оказывается, что прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой.
И обратно: если точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.
Обозначим соответствующие вершины треугольников A, B, C и Aʹ, Bʹ, Cʹ. Точки пересечения прямых AB и AʹBʹ, BC и BʹCʹ, CA и CʹAʹ обозначим D, E, F. Тогда теорема выглядит так: если прямые AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке, то точки D, E, F лежат на одной прямой, и обратно: если D, E, F лежат на одной прямой, то AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке.
Заметим, что в проективной геометрии прямая – замкнутая линия, поэтому отрезок не определяется своими концами: есть два отрезка с одними и теми же концами. Соответственно треугольник ABC не является определённым в обычном смысле. Поэтому, может быть, лучше говорить о двух тройках точек A, B, C и Aʹ, Bʹ, Cʹ, не лежащих каждая на одной прямой.
Переведём теперь теорему Дезарга на язык евклидовой геометрии. Тогда для прямых, проходящих через соответственные вершины, надо различать два случая: 1) либо они пересекаются, 2) либо они параллельны. Для прямых проходящих вдоль соответственных сторон, придётся различать три случая: 1) они пересекаются в точках одной прямой, 2) они параллельны (три пары параллельных прямых), 3) прямые одной пары параллельны, прямые двух других пар пересекаются в точках, лежащих на прямой, параллельной прямым первой пары.
Итого, в теореме при её формулировке для обычной плоскости будет 2 × 3 = 6 случаев.
С другой стороны, можно превратить данную теорему в теорему на обычной плоскости, приняв прямую, на которой лежат точки пересечения прямых, идущих вдоль сторон, за бесконечно удалённую. Тогда теорема примет такой вид.
Теорема 2. Пусть вершины и соответственно стороны двух треугольников приведены в соответствие. Пусть при этом оказывается, что 1) прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке или параллельны, 2) соответственные стороны в двух парах параллельны, тогда и стороны третьей пары параллельны.
Обратно: если соответственные стороны параллельны (в каждой из трёх пар), то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются либо параллельны.

В этом виде обе части теоремы, прямая и обратная, вполне доступны доказательству на уровне школьного курса.

Сначала докажем вторую часть. Пусть ABǀǀAʹBʹ, BCǀǀBʹCʹ, CAǀǀCʹAʹ. Проведём прямые AAʹ, BBʹ. Допустим, они пересекаются в некоторой точке O.

Так как ABǀǀAʹBʹ, то

OA/OAʹ = OB/OBʹ. (1)

Тут возможны два случая: 1) точки A, Aʹ как и B, Bʹ лежат с одной стороны от O (рисунок 11), 2) они с разных сторон от O (рисунок 12). Произведём гомотетию с центром O, которая переведёт точку Aʹ в A. Если эти точки с разных сторон от O, то коэффициент гомотетии отрицательный.

Ввиду пропорциональности отрезков (1) точка Bʹ перейдёт в B. Прямые AʹCʹ и BʹCʹ, как параллельные прямым AC, BC, перейдут в эти прямые. Вместе с этим точка их пересечения Cʹ переходит в C. Следовательно, точки C, Cʹ лежат на одной прямой, проходящей через O.
Если AAʹǀǀBBʹ, то тот же результат даёт параллельный перенос, совмещающий A с Aʹ.
Итак, вторая часть теоремы доказана.
Аналогично доказывается прямая теорема. Используем рисунки 2 и 3. Прямые AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке, а AB и AC параллельны AʹBʹ и AʹCʹ соответственно. Так же, как и в доказанной обратной теореме, производим гомотетию с центром O. Таким образом, точка Aʹ переходит в точку A, точка Bʹ – в B (по пропорциональности отрезков OA/OAʹ = OB/OBʹ), а точка Cʹ – в C (по пропорциональности отрезков OA/OAʹ = OC/OCʹ). Следовательно, AB переходит в AʹBʹ, AC – в AʹCʹ и BC – в BʹCʹ, то есть BCǁBʹCʹ. Теорема доказана.
Перейти от доказываемой таким образом теоремы из элементарной геометрии к теореме Дезарга в её общем виде можно совсем просто и не ссылаясь на проективную геометрию.
Пусть на плоскости α даны треугольники ABC, AʹBʹCʹ. Воспользуемся введёнными выше обозначениями (рисунок 10). Пусть D, E – точки пересечения прямых AB, AʹBʹ и BC, BʹCʹ. (Если, скажем, BCǀǀBʹCʹ, то берём прямые CA, CʹAʹ, если же CAǀǀCʹAʹ или ABǀǀAʹBʹ, то это случай, который уже рассмотрен в доказанной теореме.) Проводим прямую DE. Берём точку O – центр проекции вне плоскости α и проводим плоскость β через O и прямую DE. Проводим плоскость γǀǀβ и проектируем на неё плоскость α. Так как γǀǀβ, то прямая DE спроектируется в бесконечно удалённую прямую, т. е. прямые AB, AʹBʹ и BC, BʹCʹ спроектируются в параллельные. Мы получим, таким образом, конфигурацию, рассматриваемую в теореме 2. Эта теорема доказана, а значит, возвращаясь на плоскость α, доказана и теорема Дезарга.