Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

Глава 1. Основные понятия

1. Немного истории. Проективные свойства

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе такого древнегреческого геометра, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Теорией перспективы занимались крупнейшие художники Возрождения Леонардо да Винчи (1452–1519) и Альбрехт Дюрер (1471–1521); ими были написаны книги о перспективе. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

Вначале проективная геометрия имела довольно ограниченный диапазон приложений. Но по мере роста она всё более и более проникала в различные геометрические области, а в конце XIX столетия исследования по проективной геометрии и по основаниям элементарной геометрии теснейшим образом объединились. Замечательным результатом этого объединения было построение в рамках проективной геометрии глубокой теории, которая включила в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.
Проективная геометрия была развита и оформилась как особая область геометрии в работе французского инженера и геометра Жана Виктора Понселе (1788–1867) «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедшей в 1822 г. Понселе был офицером наполеоновской армии, попал в плен и написал свой трактат в 1813–1814 гг., находясь в плену в Саратове. В этой работе он выделил как объект исследования некоторые особые свойства геометрических фигур, названные проективными.
Достойно внимания, что эта область геометрии не только возникла из потребностей практики, но и была обязана своим развитием художникам, архитекторам и инженерам. Только позже ей было дано самостоятельное аксиоматическое обоснование.
Многие свойства фигур не переносятся на её проекцию. Так, свойства правильного треугольника могут не сохраниться при проектировании, в результате которого, вообще говоря, не будет получаться снова правильный треугольник. Основное свойство окружности, выражаемое обычно определением, также может быть нарушено при проектировании. Проектируя окружность, можно получить эллипс или параболу и даже гиперболу; проектируя правильный треугольник, можно получить треугольник произвольной формы, и т. д.
Точно так же многие величины, связанные с фигурой, будут при проектировании, вообще говоря, меняться. Так, проектируя отрезок данной длины a, можно получить отрезок, длина которого как угодно велика или как угодно мала; проектируя треугольник данной площади S, можно получить треугольник, площадь которого будет больше или меньше величины S.
С другой стороны, фигуры обладают свойствами, которые сохраняются при любом проектировании, и с фигурами могут быть сопоставлены величины, также сохраняющиеся при любом проектировании. Такие свойства и величины называют инвариантами проектирования.
Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к любому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, рассматривая их как объекты исследования в проективной геометрии. Кроме того, объектами проективной геометрии являются инвариантные относительно проектирований величины.
Учение о проективных свойствах и составляет предмет проективной геометрии.

2.