Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 8. Евклидовы пространства
Понятие евклидова и унитарного пространства. Скалярное произведение векторов. Процесс ортогонализации векторов. Длина вектора и угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности. Ортогональное дополнение подпространства. Симметрические операторы, их свойства. Критерий симметричности оператора, существование собственного ортонормированного базиса. Ортогональные операторы, их свойства. Канонический базис и каноническая матрица ортогонального оператора.
Тема 9. Квадратичные формы
Линейные формы. Квадратичные формы. Ранг квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Метод элементарных преобразований. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных. Нормальный вид квадратичной формы над полем вещественных и комплексных чисел. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Распадающиеся квадратичные формы.
Тема 10. Элементы общей алгебры
Отношение эквивалентности на множестве. Фактор множество. Разложение группы на смежные классы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Конечные группы. Теорема Лагранжа. Фактор-группа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Изоморфизм циклических групп. Основная теорема о гомоморфизмах групп. Гомоморфизм и изоморфизм колец и полей. Ядро гомоморфизма. Факторкольцо. Теорема о расширении колец и полей. Простое алгебраическое расширение поля. Алгебраически замкнутые поля.
1.5. Тематика практических занятий
Первый семестр

1. 
   Отображения множеств. Типы отображений. Перестановки. Подстановки.
   
2. 
   Матрицы и действия над ними.
   
3. 
   Понятие определителя n-го порядка. Основные свойства определителей.
   
4. 
   Вычисление определителей. Правило Крамера.
   
5. 
   Методы вычисления определителей порядка n.
   
6. 
   Обратная матрица. Матричные уравнения. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
   
7. 
   Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
   
8. 
   Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
   
9. 
   Извлечение корня квадратного из комплексных чисел в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений.
   
10. 
    Тригонометрическая форма комплексного числа.
    
11. 
    Деление многочленов с остатком. Наибольший общий делитель многочленов.
    
12. 
    Схема Горнера. Корни многочленов. Кратность корней. Самостоятельная работа.
    
13. 
    Обобщенная теорема Виета.
    
14. 
    Разложение многочлена на неприводимые множители над полем действительных и комплексных чисел.
    
15. 
    Нахождение рациональных корней полинома.
    
16. 
    Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
    
17. 
    Группы. Кольца. Поля.
    
18. 
    .Кольцо классов вычетов.