Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 5. Нормальная форма матрицы над полем
Понятие l-матрицы. Элементарные преобразования l-матриц. Канонические l-матрицы. Приведение l-матрицы к каноническому виду. Теорема единственности канонической l-матрицы. Унимодулярные l-матрицы, их свойства. Элементарные l-матрицы. Критерий эквивалентности l-матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные многочлены. Деление l-матриц. Теорема Безу для матричных многочленов. Подобные матрицы. Критерий подобия матриц. Жорданова клетка. Жорданова матрица. Канонический вид характеристической жордановой матрицы. Критерий подобия жордановых матриц. Жорданова нормальная форма матрицы. Теорема о приводимости матрицы к жордановой нормальной форме в комплексном и вещественном пространстве. Единственность жордановой нормальной формы. Необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы.
(Материал данной темы дается студентам для самостоятельного изучения.)
Тема 6. Векторные пространства и системы линейных уравнений
Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости. Базис пространства. Координаты вектора. Теоремы о базисах. Размерность пространства. Формулы преобразования базиса. Формулы преобразования координат. Изоморфизм векторных пространств одинаковой конечной размерности. Подпространства. Признак подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма. Ранг системы векторов. Линейная оболочка векторов. Ранг матрицы (основная теорема). Теоремы о ранге матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений. Подпространство решений системы линейных однородных уравнений. Фундаментальные решения системы линейных однородных уравнений. Обзор методов исследования и решения систем линейных уравнений.
Тема 7. Линейные операторы векторных пространств
Понятие линейного отображения и линейного оператора. Матрица линейного оператора. Связь матриц оператора в разных базисах. Действия над линейными операторами. Обратные операторы, условие существования. Образ и ядро линейного оператора. Теоремы о ранге и дефекте линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. Характеристические корни и собственные значения линейного оператора. Инвариантные подпространства линейного оператора. Разложение векторного пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.