Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 7. Вычисления групп Галуа
Группа автоморфизмов поля над подполем. Неподвижное поле группы автоморфизмов. Теорема Артина. Расширения Галуа. Группа Галуа расширения Галуа. Соответствие Галуа. Основная теорема теории Галуа. Группа Галуа как группа перестановок корней многочлена. Примеры. Решение кубических уравнений в радикалах. Решение уравнений четвёртой степени в радикалах. Критерий разрешимости уравнения в радикалах.
Метод резольвент вычисления групп Галуа. Его применения для числовых полей степени 3, 4, 5.

Тематика практических занятий

Тема 1. По данной теме практических занятий не предусмотрено.
Тема 2. Отыскание подколец, подполей и гомоморфизмов. Отыскание идеалов факторкольца кольца многочленов от одной и многих переменных и операции над ними. Вычисления с идеалами полиномиальных колец.
Тема 3. Построение примеров нётеровых колец. Алгоритмические вычисления с многочленами. Редукция и проверка свойств базисов Грёбнера полиномиальных идеалов. Отыскание базисов Грёбнера полиномиальных идеалов.
Тема 4. Отыскание идеалов аффинных алгебраических множеств. Построение примеров соответствия между алгебраическими множествами и идеалами. Решение систем полиномиальных уравнений с помощью базисов Грёбнера.
Тема 5. Сопряженность элементов в группах. Сопряженность перестановок. Построение примеров факторгрупп матричных групп. Вычисления в циклических группах. Построение примеров разрешимых групп. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Алгоритмические вычисления в матричных группах. Вычисления в группах перестановок. Примитивные, импримитивные группы подстановок. Алгоритмическое генерирование перестановок.
Тема 6. Вычисления в алгебраических числовых полях. Исследование полей разложений многочленов.
Тема 7. Исследование разрешимости конкретных уравнений в радикалах. Алгоритмическое вычисление групп Галуа многочленов.

Трудоёмкость (з.е. / часы)