Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. Введение
Задачи и программа курса. Место курса «Вычислительная алгебра» в ряду других математических дисциплин. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Литература к курсу.
Обзор основных результатов элементарной теории чисел. Обзор основных свойств конечных полей. Общая задача вычисления дискретного логарифма, как задача решения системы полиномиальных уравнений над конечным полем. Проблема упрощения системы уравнений. Задача разрешимости полиномиального уравнения в радикалах.
Тема 2. Вычисления в кольцах и алгебрах
Примеры колец и полей. Подкольца и подполя. Алгебры над кольцом и над полем. Алгебра многочленов от одной переменной, её свойства. Многочлены от многих переменных, его факториальность. Гомоморфизмы колец, полей и алгебр, их свойства примеры. Идеалы коммутативных колец, их свойства. Подкольца и идеалы, порождённые множеством, их свойства, их элементы. Кольца главных идеалов. Факторизация колец и гомоморфизмов по идеалам.
Сумма и произведение идеалов. Свойства операций над идеалами. Максимальные и простые идеалы. Числовые кольца. Алгоритм редукции и умножения идеалов квадратичного кольца.
Тема 3. Вычисления с многочленами
Нётеровы кольца. Эквивалентные условия нётеровости. Теорема Гильберта о базисе. Представления многочленов. Арифметика многочленов. Евклидовы алгоритмы для многочленов. Вычисление результантов и дискриминантов. Факторизация многочленов по модулю p. Алгоритм Берлекэмпа. Факторизация многочленов над и над .
Отношение порядка на множестве одночленов. Алгоритм деления в кольце многочленов от многих переменных. Мономиальные идеалы. Лемма Диксона. Базисы Грёбнера полиномиальных идеалов, их свойства. Зацепление многочленов. Алгоритм Бухбергера. Минимальный и редуцированный базисы Грёбнера, их свойства. Улучшенный алгоритм Бухбергера.
Тема 4. Решение систем алгебраических уравнений
Аффинные алгебраические множеств, операции над ними. Топология Зариского. Идеал множества. Радикал идеала, его свойства. Радикальные идеалы. Свойства идеалов множеств. Понятие неприводимости. Аффинные алгебраические многообразия. Идеал многообразия. Теорема Гильберта о нулях. Соответствие между алгебраическими множествами и идеалами. Алгоритм вычисления радикалов идеалов в полиномиальных кольцах.
Разложение на неприводимые компоненты. Алгоритм решения систем полиномиальных уравнений с помощью базисов Грёбнера. Алгоритм примарного разложения идеалов в полиномиальных кольцах.