Ҳосила. Ҳосилани функцияни текширишга татбиқи мавзуларини ўқитиш методикаси режа

4. Teskari funksiyaning hosilasi.
Teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremani isbotsiz keltirib o’taylik.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu kesmada o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaga teskari bo’lgan x=φ(y) funksiya mavjud bo’ladi. y=f(x) ga teskari bo’lgan funksiyani topish uchun tenglamani x ga nisbatan yechish kerak.
_{Teorema. Agar y=f(x) funksiya x nuqtada chekli f '(x) ≠0 hosilaga ega bo’lsa, u holda bu}

_{funksiyaga teskari bo’lgan x= φ (y) funksiya ham shu nuqtada φ’(y)=} ¹
f ' ( x )


hosilaga ega bo’ladi.

Isboti. y'_x=f '(x) mavjud bo’lsin. x= φ (y) funksiya argumenti u ga  y orttirma bersak

_{ X= φ(y+  Y) - φ(y),
 x 1
}



y
<sub> x '   ' ( y ) 


lim
 x 1 1 1
 lim  </sub>

 y  y
^{ y  0}  y
 y  0
y


_lim
y
f ' ( x )

φ'(y) =
1


f ' ( x )
yoki x_y' =
1


y ' ( x )
^{ x} _{ y  0} ^{ x}

5. Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.
Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar X (a,b) nuqtada u'(x) va v'(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va bo’linmasi shu x nuqtada hosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:
(u±v)'=u'±v';
(uv)'=u'v+uv'

_{ u 
u ' v  uv '}

_{  ‘ =
( v ( x )  0 )
2}

_ ^v _ ^{v
Isboti. [u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x) ekanligini ko’rsataylik. y=u(x)+v(x) deb x ga}  ^{X orttirma bersak} u(x), v(x) funksiyalar ham orttirma oladi: AU=U(X+AX)-U(X)
 ^u=u(x+  ^x)-u(x)
 ^{y=y(x+Ax)-y(x)=[u(x+Ax)-u(x)]+[v(x+}  ^x)-v(x)]=  ^U+  ^{V teoremaning shartiga ko’ra u(x),}
_{u(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lgani uchun}

_{lim
 y}
^ _lim
 ^{ u}
_{
 v }
 _  u’(x)+v’(x)  u(x)+v(x)|'=u'(x)+v'(x)

^{ x  0}  x
^{ x  0} _ ^{ x
 x} _

Qolganlari ham shunga o’xshash isbot qilinadi.
<sub>6. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.
1. y=x</sub>ⁿ _{(x>0) darajali funksiyamng hosilasini topaylik. Funksiya hosilasining ta'rifiga ko’ra }

n

n

n
 _{  x } 
 _{  x } 

_{n
  x }
^x   ^{1 }
_{ y  
} ^{ 1} _{
x  }
^x   ^{1 }

n  1
_{ 
} ^{ 1} _{
x  }

_{y=(x+  x)}ⁿ_-xⁿ_=x ⁿ _{[  1  }
 ^x 
_n
 1  ,
_ ^{  }
 x  x
_ ^{  } _;
^x


x
_n

^ _{  x } ^
 _{  x } ^

_{ } 1 
_  1 _{
 } 1 
_  1 _

_lim
^_ ^{ x  }<sub>


= n ajoyib limitni e’tiborga olsak


lim
y</sub>



_lim
^_^{  x  }<sub>
 x


 x</sub> ^{n  1}


_{ nx}


n  1

 x  0

n
y '  ( x
x
)'  nx


^{n  1} .
^{ x  0}  x
 x  0


x

_2.y=a^x _{(a>0, a≠ \ ) ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi.}

 y  a ^{ x  x}  a ^x  a ^x ( a ^{ x}  1);

_{ y a} ^x _{( a} ^{ x} _{ 1)}
^ ,
 x  x

_lim
a ^x  1

 1 na

_{ajoyib limitga ko’ra}


y ' 
<sub>lim


 y</sub>
 _lim
a ^x ( a ^{ x} 1 )

 a ^x

x  0
lim
 x  0
x


a ^{ x}  1
 x
 a ^x 1 na
D ema k , y'= (a
^x)'= a
_{ x  0} <sup> x


x</sup>lna
_{ x  0} ^{ x}
₁

3. y= log_ax (a>0, a≠ 1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham y'=(log_a x)'=
x
_{bila n topiladi.}
^log_a ^{e formula}

_{Agar logae=} ¹ _{; logea=lna; logex=lnx; logxe=} ¹ _{. ekanligini e’tiborga olsak}

1 n e
1 n x

_{y'= (loga x)'=} ¹ _{kelib chiqa di.}
x 1 na
₁
Agar a=e desak lna=lne=l bo’lib, y=lnx; y'=(1nx)'=
x
bo’ladi.

_{4. y=sinx funksiyani ng hosilasini topish uchun x ga  x
orttirma bersak , y ham}  y
_orttirma

_{  x 
 2 x   x  }

_olib
 y _{=sin(x+  x)-sinx=2sin 
 cos   ,}

_ ² _
 ² _

<sub>  x


  x  </sub>

_ ^sin
_{ y}
^{cos  x  } _

2
_{2  2 }

_{y ' 
lim
 lim}
^{  } _{ cos x .}

_{y '  (sin
 x  0} ^{ x}
_{x )'  cos x
 x  0} ^


^x _



xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga ma'lum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning hosilalarini hisoblash mumkin:

(cos