Oshkormas funksiyaning mavjudligi haqidagi tеorеma. Oshkormas funksiyani diffеrеntsiallash. Sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalari. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning ekstrеmumlari. Shartli ekstrеmum reja



Download 281,05 Kb.
bet1/2
Sana31.12.2021
Hajmi281,05 Kb.
#251004
  1   2
Bog'liq
OSHKORMAS FUNKSIYANING MAVJUDLIGI HAQIDAGI T¦ХOR¦ХMA. OSHKORMAS FUNKSIYANI DIFF¦ХR¦ХNTSIALLASH. SIRTGA OтАШTKAZILGAN URINMA TEKISLIK VA N


OSHKORMAS FUNKSIYANING MAVJUDLIGI HAQIDAGI TЕORЕMA. OSHKORMAS FUNKSIYANI DIFFЕRЕNTSIALLASH. SIRTGA O‘TKAZILGAN URINMA TEKISLIK VA NORMAL TENGLAMALARI. KO‘P O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALARNING EKSTRЕMUMLARI. SHARTLI EKSTRЕMUM
REJA:


    1. Murakkab funksiyaning hosilasi. To’la hosila.

    2. Oshkormas funksiyaning hosilasi.

    3. Sirtga urinma tekislik va normal.

    4. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari.

    5. Shartli ekastremumlar.

    6. Funksiyaning yopiq sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlar.

    7. Eng kichik kvadratlar usuli bilan tajriba asosida funksiyani topish.



1. Faraz qilaylik

z=F(u, v) (1)

tenglamada u va v bog’liqmas o’zgaruvchilar x va y ning funksiyalari bo’lsin: u x,y; v x, y (2)



z Fx, y,x, y (3)

Fu, v, x, y, x, y funksiyalar uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilib,

z /  x va z/ y ni y ni o’zgarishsiz qoldirib, x ga  x orttirma beramiz. U holda asosan u va v ham  xu va xv xusisiy orttirmalarni qabul qiladi. (16) ga asosan esa funksiya z z orttirma qabul qiladi. Bu orttirmani quyidagi (to’la differensial mavzusiga qaralsin) ko’rinishda yozamiz;

z F xu F xv 1xu 2xv.

u v

Bu tenglikning har bir hadini  x ga bo’lamiz.



z  F xu  F xv 1 xu 2 xv .

x v x v x x x

Agar x  0 bo’lsa, xu  0, xv  0va 1  0, 2  0 . Oxirgi tenglikda x 0 bo’lganda limitga o’tamiz:

z F u F v



 

x u x v x



x ni o’zgarishsiz qoldirib, y ga  y orttirma berib topamiz:

z F u F v



 

y u y v y

O’zgaruvchilarning sanog’i ko’p bo’lganda ham xususiy hosilalar shunga o’xshash topiladi.

Misol.wu2 vt 3 bo’libuxy; vx y; txy bo’lsin.



w  w u  w v  w t  2 y3t2

2uvu

x u x v x t x

2xyx yx y2 y3xy2



w 2uv1u2 x3t2 2xyx yxy2 x3xy2 y

Agar zF x,u,v funksiya berilgan bo’lib, y,u,v navbatida faqat x ning funksiyalari bo’lsa, ya‘ni yf x, ux, vx, u holda z faqat bitta o’zgaruvchi x ning funksiyasi bo’lib d z

qoladi va undan oddiy hosila ni topish masalasini qo’yish mumkin. d x

d z F x F y F u F v



    d x x x y x u x v x

va d x 1,  y d y ,  y d u ,  d v bo’lib d x x d x x d x x d x d z F F y F u F v

    d x x y x u x v x

hosil bo’ladi, bu esa to’la hosila deyiladi.



zx3 y; ysin 2x Misol.

z 3x2 z 1  y



; ; 2cos2x

x y 3 x

bo’lib

2. Avval bitta bog’liqmas o’zgaruvchining oshkormas funksiyasidan hosilani qarab chiqamiz.

Teorema. Oshkormas funksiya F(x,y)=0 berilgan bo’lib, funksiyani qanoatlantiradigan (x, y) nuqtani o’z ichiga olgan biror D sohada F x,y, Fxx,y uzluksiz va Fxx,y0 bo’lsin.

Fxx, y

U holda x ning funksiyasi bo’lgan y yx  hosilaga ega bo’ladi.



Fy x, y

Isbot.x ning biror qiymatida F x, y0bo’lsin. x ga  x orttirma bersak, yy orttirma qabul qiladi. F x x, y y0 hosil qilamiz. F x x, y yF 0ayirmani xususiy hosilalar orqali ifodalaymiz:

F xx, y yF xy F xF y1 x2 y 0

x y

bo’lib, bundan

F F



x  y 1  x2  y 0

x y

y

hosil bo’ladi. Buni ikkala tomonini  x ga bo’lamiz va ni topamiz:

x

F

 1

y x



x F

2

y

F

x0 holda1 0 va 2 0 , hamda 0 ekanligini hisobga olib topamiz.

y

F

d y x



d x F

y Misol. x2 cosxy2 0 yx ?

2x

yx   2ysinsinxx yy22 22xysinsinxxyy22

z z



Endi ikki o’zgaruvchili oshkormas ko’rinishda berilgan F x, y, z0funksiyadan va

x y



z z Fx ni xususiy hosilalarni topamiz. ni topish paytida y o’zgarmasligini hisobga 

x x Fz

z Fy

shunga o’xshash  ni topamiz.

y Fz

Misol.ez x2 yz50 F x, y,zez x2 yz5

Fx2x y; Fyx2; Fzez  1;demak

2x y x2 zx  e2 1, zy  e2 1.



3. Agar sirtning tenglamasi z f x, ybo’lsa, uning M0 x0, y0,z0 nuqtasiga o’tkazilgan urinma tekisligining tenglamasi qiyidagicha bo’ladi: z z0 x x0fx x0,y0y y0fx x0,y0.

Ta‘rif. Urinma tekislikka urinish nuqtasida penpendikulyar to’g’ri chiziq normal deyiladi. Uning tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

x x0 y y0 z z0



 

1 x , y f 1x , y fx  0 0 y 0 0 1

Agar sirtning tenglamasi F (x, y, z)=0 oshkormas ko’rinishda berilgan bo’lsa, ma‘lumki hususiy hosilalar (undan z=f (x, y) funksiya mavjud bo’lsa):

fx x0, y0  Fxx0, y0, z0; fy x0, y0  Fy x0, y0, z0

Fz x0, y0, z0Fz x0, y0, z0

bo’lib, urunma tekislikning tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

Fxx0,y0, z0 y y0Fy x0,y0, z0

z z0  x0,x0 

Fz x0,y0, z0Fz x0,y0, z0

yokiz  z0Fzx0,y0,z0x x0 Fxx0,y0,z0y  y0 Fyx0,y0,z0 0

F F F

yoki qisqacha x x00 y y00 z z00  0

x y z

Normal tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

xx0 yy0 zz0



F F F

Misol. Aylanma ellipsoid x2 y2 z2 1 ga shunday urinma tekislik o’tkazilsinki, u 2



x+y-z=0 tekislikka parallel bo’lsin.

F F F



Yechish.  2x0,y0, 2z0

x 0 y 0  z 0

bo’lganini sababli urinma tekislik M0x0, y0, z0 nuqtada

2x0xx0 y0yy02z0zz0 0 bo’ladi.

Uning x+y-z=0 tekislikka parallelligidan foydalanamiz:

2x0 y 2z0

 

11

Bunga M 0 nuqtaning ellipsoidda yotish sharti x02 y02 /2 z02 1ni qo’shamiz va birgalikda yechib, M011/2,1,1/2 va M021/2,1,1/2 ni topamiz. Bu koordinatalarni urinma



tekislik tenglamasiga qo’yib, ikkita tekislikni topamiz. x+y-z=2 va x+y-z=-2.

4. Ta‘rif. P0x0, y0nuqta z f x, y funksiya uchun ekstrimum (max yoki min) nuqtasi deyiladi, agar funksiyaning bu nuqtadagi qiymati shu nuqtaning biror atrofidan qabul qilgan qiymatlaridan katta (max) yoki kichik (min) bo’lsa. Bu holda f x0, y0funksiyaning ekstremal qiymati deyiladi. z

Chizmada P0 -max, Q0 - min nuqtasi.

Ta‘rifga ko’ra ekstrimum nuqtasi albatta funksiyaning aniqlanish sohasining ichida yotishi kerak. Teorema 1. (ekstrimumning zaruriy sharti) Agar z f x, y funksiya x x0 va y y0

qiymatlari ekstrimumga ega bo’lsa, u holda o’zgaruvchilarning bu qiymatlarida har bir birinchi xususiy hosila nolga teng yoki mavjud emas.

Isbot. y y0 funksiyani qiymatga qo’yib, bir o’zgaruvchili funksiya z f x, y ning ekstrimumi  f /x  0 mavjud bo’lmaganda mavjud bo’lishini bilamiz. Shunga o’xshash z1x 0 yoki mavjud emasligi kelib chiqadi.

Ta‘rif. z1x 0 va z1y 0 bo’ladigan nuqtaga statsionar nuqta va bu hosilalar mavjud bo’lmagan nuqtaga kritik nuqta deyiladi. Keltirilgan shart zaruriy bo’lib, yetarli bo’la olmaydi. Misol. z=xy funksiya hosilalari x=0, y=0 nuqtada nolga aylanadi, lekin bu nuqtada ekstremum yo’q.

Teorema-2. (etarli shart) P0x0, y0 statsionar nuqta, ya‘ni fxx0y0 0, fxx0y0 0 bo’lsin. Bu nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni hisoblaymiz va quyidagicha belgilaymiz:

A fxxx0y0; B fxyx0y0; C fyyx0y0.



  1. Agar B2 AC  0 bo’lsa, P0x0, y0 nuqtada funksiya ekstrimumga ega:

max., agar A<0 (C<0) bo’lsa maksimumga min., agar A>0 (C>0) bo’lsa minimumga erishiladi

  1. Agar B2 AC  0 bo’lsa P0x0, y0 nuqtada ekstrimum mavjud emas,

  2. Agar B2 AC  0 bo’lsa ekstrimum mavjud bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin . Qo’shimcha tekshirish kerak.


Download 281,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish