Oshkormas funksiyaning mavjudligi haqidagi tеorеma. Oshkormas funksiyani diffеrеntsiallash. Sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalari. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning ekstrеmumlari. Shartli ekstrеmum reja

OSHKORMAS FUNKSIYANING MAVJUDLIGI HAQIDAGI TЕORЕMA. OSHKORMAS FUNKSIYANI DIFFЕRЕNTSIALLASH. SIRTGA O‘TKAZILGAN URINMA TEKISLIK VA NORMAL TENGLAMALARI. KO‘P O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALARNING EKSTRЕMUMLARI. SHARTLI EKSTRЕMUM
REJA:

1. 
   Murakkab funksiyaning hosilasi. To’la hosila.
   
2. 
   Oshkormas funksiyaning hosilasi.
   
3. 
   Sirtga urinma tekislik va normal.
   
4. 
   Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari.
   
5. 
   Shartli ekastremumlar.
   
6. 
   Funksiyaning yopiq sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlar.
   
7. 
   Eng kichik kvadratlar usuli bilan tajriba asosida funksiyani topish.
   

1. Faraz qilaylik

z=F(u, v) (1)

tenglamada u va v bog’liqmas o’zgaruvchilar x va y ning funksiyalari bo’lsin: u x,y; v x, y (2)

z  Fx, y,x, y (3)

Fu, v, x, y, x, y funksiyalar uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilib,

 z /  x va z/ y ni y ni o’zgarishsiz qoldirib, x ga  x orttirma beramiz. U holda asosan u va v ham  _xu va _xv xusisiy orttirmalarni qabul qiladi. (16) ga asosan esa funksiya z  z orttirma qabul qiladi. Bu orttirmani quyidagi (to’la differensial mavzusiga qaralsin) ko’rinishda yozamiz;

z  ^F _xu  ^F _xv ₁_xu ₂_xv.

u v

Bu tenglikning har bir hadini  x ga bo’lamiz.

z  F xu  F xv ₁ xu ₂ xv .

x v x v x x x

Agar x  0 bo’lsa, _xu  0, _xv  0va ₁  0, ₂  0 . Oxirgi tenglikda x 0 bo’lganda limitga o’tamiz:

 z F u F v

 

 x u  x v  x

x ni o’zgarishsiz qoldirib, y ga  y orttirma berib topamiz:

 z  F u  F v

 

 y u  y v  y

O’zgaruvchilarning sanog’i ko’p bo’lganda ham xususiy hosilalar shunga o’xshash topiladi.

Misol.wu² vt ³ _bo’libux y; vx y; tx y bo’lsin.

w  w u  w v  w t  2 y_3t2 _

2uv_u

 x u  x v  x t  x

2x yx yx  y² y3x y²

^w 2uv1u² x3t² 2x yx yx y² x3x y²  y

Agar zF x,u,v funksiya berilgan bo’lib, y,u,v navbatida faqat x ning funksiyalari bo’lsa, _ya‘ni y f x, ux, vx, u holda z faqat bitta o’zgaruvchi x ning funksiyasi bo’lib d z

qoladi va undan oddiy hosila ni topish masalasini qo’yish mumkin. d x

d z  F  x  F  y  F u  F v

    d x  x  x  y  x u  x v  x

va d x 1,  y  d y ,  y  d u ,  d v bo’lib d x  x d x  x d x  x d x d z  F  F  y  F u  F v

    d x  x  y  x u  x v  x

hosil bo’ladi, bu esa to’la hosila deyiladi.

z x³ y; ysin 2x Misol.

 z 3x²  z 1  y

; ; 2cos2x

 x  y ³  x

bo’lib

2. Avval bitta bog’liqmas o’zgaruvchining oshkormas funksiyasidan hosilani qarab chiqamiz.

Teorema. Oshkormas funksiya F(x,y)=0 berilgan bo’lib, funksiyani qanoatlantiradigan (x, y) nuqtani o’z ichiga olgan biror D sohada F x,y, F_xx,y uzluksiz va F_xx,y0 bo’lsin.

F^xx, y

U holda x ning funksiyasi bo’lgan y y_x  hosilaga ega bo’ladi.

F_y x, y

Isbot.x ning biror qiymatida F x, y0bo’lsin. x ga  x orttirma bersak, y y orttirma qabul qiladi. F x x, y y0 hosil qilamiz. F x x, y yF 0ayirmani xususiy hosilalar orqali ifodalaymiz:

F xx, y yF x y ^F x ^F  y₁ x₂  y 0

x  y

bo’lib, bundan

 F  F

 x  y 1  x2  y 0

 x  y

 y

hosil bo’ladi. Buni ikkala tomonini  x ga bo’lamiz va ni topamiz:

 x

 F

 ₁

 y  x



 x  F

₂

 y

 F

 x0 holda₁ 0 va ₂ 0 , hamda 0 ekanligini hisobga olib topamiz.

 y

 F



d y  x

 d x  F

 y Misol. x² cosx y² 0 y_x ?

2x

yx   2ysinsinxx yy²2^ 2₂x_y_sinsin^_xx__yy2²^

 z  z

_{Endi ikki o’zgaruvchili oshkormas ko’rinishda berilgan} F x, y, z0funksiyadan va

 x  y

 z ^{ z Fx} ni xususiy hosilalarni topamiz. ni topish paytida y o’zgarmasligini hisobga 

 x  x F_z

 z F_y

shunga o’xshash  ni topamiz.

 y F_z

Misol.e^z  x² y z50 F x, y,ze^z  x² y z5

F_x2x y; F_yx²; F_ze^z  1;demak

2x y x² z_x  e₂ 1, z_y  e2 _1.

3. Agar sirtning tenglamasi z  f x, ybo’lsa, uning M₀ x₀, y₀,z₀ nuqtasiga o’tkazilgan urinma tekisligining tenglamasi qiyidagicha bo’ladi: z  z₀ x  x₀f_x^ x₀,y₀y  y₀f_x^ x₀,y₀.

Ta‘rif. Urinma tekislikka urinish nuqtasida penpendikulyar to’g’ri chiziq normal deyiladi. Uning tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

x  x₀ y  y₀ z  z₀

 

1 x , y  f 1x , y  fx  0 0 y 0 0 1

Agar sirtning tenglamasi F (x, y, z)=0 oshkormas ko’rinishda berilgan bo’lsa, ma‘lumki hususiy hosilalar (undan z=f (x, y) funksiya mavjud bo’lsa):

fx x0, y0  Fxx0, y0, z0; fy x0, y0  Fy x0, y0, z0

F_z x₀, y₀, z₀ F_z x₀, y₀, z₀

bo’lib, urunma tekislikning tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

Fxx0,y0, z0 y  y0Fy x0,y0, z0

z  z0  x0,x0 

F_z x₀,y₀, z₀ F_z x₀,y₀, z₀

yokiz  z₀F_zx₀,y₀,z₀x x₀ F_xx₀,y₀,z₀y  y₀ F_yx₀,y₀,z₀ 0

F F F

yoki qisqacha x  x00 y  y00 z  z00  0

x y z

Normal tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

x x₀ y y₀ z z₀

F F F

Misol. Aylanma ellipsoid x^{2 } y² z² 1 ga shunday urinma tekislik o’tkazilsinki, u 2

x+y-z=0 tekislikka parallel bo’lsin.

F F F

Yechish.  2x₀, y₀, 2z₀

x 0 y 0  z 0

bo’lganini sababli urinma tekislik M₀x₀, y₀, z₀ nuqtada

2x₀xx₀ y₀y y₀2z₀zz₀ 0 bo’ladi.

Uning x+y-z=0 tekislikka parallelligidan foydalanamiz:

2x₀ y 2z₀

 

11

Bunga M ₀ nuqtaning ellipsoidda yotish sharti x₀²  y₀² /2 z₀² 1ni qo’shamiz va birgalikda yechib, M₀^11/2,1,1/2 va M₀^21/2,1,1/2 ni topamiz. Bu koordinatalarni urinma

tekislik tenglamasiga qo’yib, ikkita tekislikni topamiz. x+y-z=2 va x+y-z=-2.

4. Ta‘rif. P₀x₀, y₀nuqta z  f x, y funksiya uchun ekstrimum (max yoki min) nuqtasi deyiladi, agar funksiyaning bu nuqtadagi qiymati shu nuqtaning biror atrofidan qabul qilgan qiymatlaridan katta (max) yoki kichik (min) bo’lsa. Bu holda f x₀, y₀funksiyaning ekstremal qiymati deyiladi. z

Chizmada P₀ -max, Q₀ - min nuqtasi.

Ta‘rifga ko’ra ekstrimum nuqtasi albatta funksiyaning aniqlanish sohasining ichida yotishi kerak. Teorema 1. (ekstrimumning zaruriy sharti) Agar z  f x, y funksiya x  x₀ va y  y₀

qiymatlari ekstrimumga ega bo’lsa, u holda o’zgaruvchilarning bu qiymatlarida har bir birinchi xususiy hosila nolga teng yoki mavjud emas.

Isbot. y  y₀ funksiyani qiymatga qo’yib, bir o’zgaruvchili funksiya z  f x, y ning ekstrimumi  f /x  0 mavjud bo’lmaganda mavjud bo’lishini bilamiz. Shunga o’xshash z¹_x 0 yoki mavjud emasligi kelib chiqadi.

Ta‘rif. z¹_x 0 va z¹_y 0 bo’ladigan nuqtaga statsionar nuqta va bu hosilalar mavjud bo’lmagan nuqtaga kritik nuqta deyiladi. Keltirilgan shart zaruriy bo’lib, yetarli bo’la olmaydi. Misol. z=xy funksiya hosilalari x=0, y=0 nuqtada nolga aylanadi, lekin bu nuqtada ekstremum yo’q.

Teorema-2. (etarli shart) P₀x₀, y₀ statsionar nuqta, ya‘ni f_x^x₀^y₀ 0, ^f_x^x₀^y₀ 0 bo’lsin. Bu nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni hisoblaymiz va quyidagicha belgilaymiz:

A  fxxx0y0; B  fxyx0y0; C  fyyx0y0.

1. 
   Agar B²  AC  0 bo’lsa, P₀x₀, y₀ nuqtada funksiya ekstrimumga ega:
   

max., agar A<0 (C<0) bo’lsa maksimumga min., agar A>0 (C>0) bo’lsa minimumga erishiladi

2. 
   Agar B²  AC  0 bo’lsa P₀x₀, y₀ nuqtada ekstrimum mavjud emas,
   
3. 
   Agar B²  AC  0 bo’lsa ekstrimum mavjud bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin . Qo’shimcha tekshirish kerak.