O'rta maxsus ta'lim

У

2xy
/=■-- - ■ hosil bo’ladi. Hosil dilingan tengiama bir jinsii tengiama. Uni yechish
x —y
uchun y=xu almashtirishni qo’llaymiz. U holda y'=u- xu’ va tengiama u'x+u=-------
1 - и

yoki u’x = ~ --д- ko’rinishda bo’ladi. O ’zgaruvchilami ajratib, so’ngra integrallaymiz:

x u + u
, du, In | jc|= f-— *~ du
t/

Bu tenglikning o’ng tomonidagi integralni topish uchun integral ostidagi to’g’ri kasr ratsional funksiyani oddiy kasrlarga ajratamiz:
1 - u 1 _ 1 2и
и + м3 и 1+u 2 Bulami integrallab topamiz:


f-——j d u = J— - f— = ln|« |-ln |l + u 2\ + InC = ln-- ~
U J l + tt
Topilgan ifodani (3) ga qo’ysak, quydagiga ega bo’lamiz:
ⁱ1пЫ^и = ⁱ1п —^\—^Cu\у yokⁱ i^• x = ^Cu
1 -i-M 2 \ + U 2

Bu tenglikda и ni — bilan almashtirsak, x 2+y2=Cy ga, ya’ni yana aylanalar

x
oilasiga ega bo’lamiz.
Ikkala oilaning barcha aylanalari koordinatalar boshidan o’tadi, biroq berilgan oiia aylanaiaming markazlari Ox o’qda trayektoriyalarining markazlari esa Оу o’qda joylashgan.
Javob: x 2:y 2=Cy.
Masala. r=2as\n$ egri chiziqlar oilasining ortogonal trayektoriyalarini toping.
Yechish. A w al r-2 asin 0 egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasini topamiz:
/•=2asin0, r ’=2acos0
Bu tenglamalardan a ni yo’qotib, r'=rctg0 ga ega bo’lamiz.

Ortogonal trayektoriyalar oilasining difTerensial tenglamasini topish uchun r ’ ni
—^{г 2} ga almashtirsak —^Г* = - tg 6 bo’ladi. Bu tenglamani integrallab, ^.izlanayotgan egri
r' r
chiziqlar oilasining ortogonal trayektoriyalarining r=2Ccos6
ko’rinishda bo’lishini topamiz.
Javob: r -2Ccos0
Masala. r -ae* logarifmik spirallar oilasining har bir chizig’ini 45° burchak ostida kesuvchi egri chiziqlami toping.
Yechish.
Гr = ae°
\r'=ae°
sistemadan r’=r ko’rinishdagi tenglama kelib chiqadi. Izogonal trayektoriyalar
г ч~kr oilasining differensial tenglamasini topish uchun bu tenglamadagi r’ ni ------- - r bilan
r - k r
almashtiramiz, bu yerda masala shartiga ko’ra, A=tg45°=l.
r ' + r
Demak, ------ r - r , bundan 2r’=0 ekanligini ko’rish qiyin emas. Bundan r=C
r - r '
ko’rinishdagi izogonal trayektoriyalar oilasini hosil qilamiz.
Javob: r=C.
Masala. U=x2+y2 ko’rinishdagi potensialga ega bo’lgan kuchlar hosil qilgan maydonning kuch chiziqlarini toping.