O‘rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlarni hisoblash formulalari

Misol 2. Restoranida 7 ta asosiy taomdan 3 tasini tanlash imkoniyati berilsa, nechta usulda buyurtma qilish mumkin?

Yechilishi: Bu misolda takrorlanmaydigan 7 ta elementdan 3 tadan guruhlashni topish kerak:



Misol 3. Sportloto lotareya o’yinida 36 ta natural sondan 6 tasini topgan kishi asosiy yutuqqa ega bo’ladi. Asosiy yutuqni olish imkoniyati qanday?

Yechilishi: Yutuq raqamlar oltitaligi 36 tadan 6 ta takrorlanmaydigan guruhlashga teng:

Misolning javobidan ko’rinadiki, asosiy yutiqni olish imkoniyati judayam kam, ya’ni 1 947 792 tadan 1 taga teng.

5, 4, va 3 ta raqamni topgan kishilarga ham yutuq beriladi, lekin bu yutuq shi kishilar o’rtasida teng taqsimlanadi. Bu holda 2 xil guruhlash mavjud, biri omadli tanlov va ikkinchisi omadsiz tanlov. U holda 3 ta raqamni topgan yutuq egalari imkoniyati:


Yutuqli bo’lish ehtimoli ga teng.
Teorema 1. ta elementi bo`lgan to‘plamning barcha tartiblanmagan elementli qism to‘plamlari soni

ga teng.

Ushbu teoremani umumlashtiramiz:

ta elementi bo`lgan to‘plamni ta qism to‘plamlar yig‘indisi ko‘rinishida necha xil usulda yoyish mumkin degan savolni qo‘yamiz. Buning uchun S to`plamni o`zaro kesishmaydigan ta qism to‘plamlarga ajratish mumkin bo`lsin. Bunda ularning elementlari soni mos ravishda

N(A₁)=k₁ , N(A₂)=k₂ , ... , N(A_m)=k_m

bo‘lib, k₁, k₂ ,..., k_m berilgan sonlar uchun

shartlar bajariladi. to‘plamlar umumiy elementga ega emas.

to‘plamning k₁ elementli A₁ qism to‘plamini usulda tanlash mumkin, qolgan n-k₁ element ichidan k₂ elementli A₂ qism to‘plamini usulda tanlash mumkin va hokazo. Turli xil qism to‘plamlarni tanlash usullari ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra

Demak, quyidagi teorema isbotlandi.

Teorema 2. Aytaylik k₁, k₂ ,..., k_m butun nomanfiy sonlar bo‘lib, va to‘plam ta elementdan iborat bo‘lsin. ni elementlari mos ravishda k₁, k₂ ,..., k_m ta bo‘lgan m ta qism to‘plamlar yigindisi ko‘rinishida ifodalash usullari soni

ta bo‘ladi.

sonlarga polinomial koeffitsiyentlar deyiladi.