Определение Натуральным рядом

Теорема 1. Операция сложения существует и определена однозначно.
Законы умножения
Теорема 1. Операция умножения на множестве натуральных чисел дистрибутивна относительно сложения, т.е. для любых натуральных чисел х, у и z имеет место равенство
(х + у) z = хz + уz и х(у + z) = ху + хz.
Теорема 2. Операция умножения на множестве натуральных чисел коммутативна, т.е. для любых натуральных чисел х и у имеет место формула
х у = ух.
Теорема 3. Операция умножения на множестве натуральных чисел ассоциативна, т.е. для любых натуральных чисел х, у и z имеет место формула
(х у) z = х( уz).
Отношение > для натуральных чисел
Определение. Будем говорить, что натуральное число а больше натурального числа b, и писать, если существует натуральное число k такое, что a=b+k, т.е.
а>b k N a=b+k.
Установим основные свойства отношения >.
Свойство 1. Для любых натуральных чисел a и b справедливо одно и только одно из утверждений:

1. 
   a>b;
   
2. 
   a=b;
   
3. 
   b>a.
   

Свойство 2. Для любых натуральных чисел a, b и с, если a>b и b>c, то a>c, т.е. отношение > транзитивно.
a>b и b>c, тогда а=b+k и b=c+l для некоторых натуральных k и l. Тогда a = c + (k+l) и, поэтому, a>c. Ч. т. д.
Свойство 3. Для любых натуральных чисел a, b и с справедливы равносильности
a > b a + c > b + c,
a > b ac > bc.
Свойство 4. Для любых натуральных чисел a, b, с и d, если a > b и c > d, то a + c > b + d и ac > bd, т.е. неравенства можно почленно складывать и умножать.