Определение Натуральным рядом

Теорема 2. Любое, число имеет предшествующее число и притом только одно.
Доказательство. Пусть М — множество, содержащее 1 и все числа, имеющие хотя бы одно предшествующее число.
А) 1 принадлежит М, Б) если а принадлежит М, то и а' также принадлежит М, ибо а' имеет предшествующее число а (пред­положение, что а принадлежит М, здесь даже излишне). По аксиоме IV множество М содержит все числа. Значит, любое число имеет по крайней мере одно предшествующее. Единственность предшествующего числа следует из аксиомы III, согласно которой любое число имеет не более одного предше­ствующего.
Теорема 3. Если числа, следующие за данными числами, различны, то и данные числа различны, т. е. из а' b' следует .
Доказательство. По аксиоме II из а = b следует а'= b'.
Теорема 4. Если данные числа различны, то и следующие за ними различны, т. е. из а b следует а' b'.
Доказательство. По аксиоме III из а'= b' следует а = b.
Теорема 5. Любое число отлично от следующего за ним числа, т. е. а а' для любого а.
Доказательство. Пусть М - множество чисел, для которых теорема верна, т. е. множество таких чисел, которые не совпадают со следующим за ними числами.
А) По аксиоме I: а' 1 для любого числа а, в том числе а 1, т. е. 1' 1, а, значит, 1 принадлежит М.
Б) Если а принадлежит М, то а' а. Значит, по теореме 4 также (а')' а', т.е. а' принадлежит М. По аксиоме IV М содержит все числа, т. е. а а' для любого а.
Принцип полной математической индукции
Аксиома индукции служит для обоснования мощного метода доказательства теорем, который основан на следующем утверждении.
Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Предложение Т(п) с переменной п N верно для любого натурального числа п, если выполнены следующие условия:
1) это предложение верно для п = 1, т.е. Т(1) истинно,
2) каково бы ни было натуральное число п, из предположения о том, что это предложение верно для п, следует, что оно верно для непосредственно следующего натурального числа п', т. е. если Т(п) истинно, то и Т(п') истинно.