Opr int doc


§14 Геометрические приложения определенного интеграла



Download 1,33 Mb.
bet6/6
Sana11.07.2022
Hajmi1,33 Mb.
#777000
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
opr int


§14 Геометрические приложения определенного интеграла.
1) Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат. а)


Рассмотрим пример: найти площадь фигуры, заключенной между графиками функций


S =10∫xdx−10 ∫x2dx = x2210− x33 01= 12 −0−13−0 = 1 6
б) Отрезок [a;b] надо разбить на 2 отрезка:

a c b x
S dx


0 2
Scosx)−cosx= (1−0)−(0−1) = 2

p0
2
2) Площадь фигур, ограниченных кривыми, заданными в параметрической форме.
Пусть кривая L2 ограничивает фигуру сверху, а кривая L1 ограничивает снизу:

2 y = f2 (x) 2(t)dt L :x =j 2 (x) dx =j



dx =j L1 :x y ==jf11((xx) ) 1′ (t)dt


2
S 1 (t)dt

Подставляем в формулу (1а): b b
,
α и β – пределы интегрирования по параметру t. x

dx = −asintdt

x = acost


a = acosa a =p

a = acosb b = 0


b

S = 2 ∫bsint(−asint) a

= 2abp ∫sin2tdt = 2abp1cos2tdt = ab(tp − 1sin2tp ) =pab



0 0 2 0 2 0


3) Площадь фигур в полярной системе координат.
Напомним, что в ПСК точки на плоскости определяются двумя координатами, r - полярный радиус, φ- полярный угол (против часовой стрелки - отсчет угла положительный). Необходимо найти площадь:

Разобьем угол β - α на n углов:∆ φ1, ∆ φ2,…,∆ φn, и, соответственно, данную фигуру на n элементарных секторов.

Внутри каждого сектора возьмем фиксированное значение угла αi и введем обозначение ρi=ρ(αi). Приближенно площадь данного элементарного сектора берем как площадь треугольника с высотой ρi и с основанием ∆φi ρi: Si j i Просуммировав, получим:
Sn i=n 112 r i2j i
Sn приближенно выражает площадь данной фигуры. И тем точнее, чем больше n и чем меньше каждое из ∆φi. Тогда точное значение площади получим, переходя к пределу при n→∞ и ∆φi →0. А так как предел интегральной суммы есть определенный интеграл, то:

Рассмотрим пример: найти площадь одного лепестка лемнискаты.

Уравнение лемнискаты r = a cos2j


Sj dj = 1 a2 sin 2j 4= a2 (1+1 ) = a2

2 2 p4 2

4 4
4) Длина дуги кривой в декартовой системе координат.

На [a;b] кривая описывается уравнением y=f(x). y=f(x) непрерывна на [a;b]. Необходимо найти длину этой линии.
Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков точками a=x0 , x1,x2, …., xi, xi+1,.. , xn=b. Заменим кривую ломаной линией, длина каждого звена которой равна

) ( )  ∆yi 2 ∆xi , по теореме Лагранжа ∆li = ∆xi 2 + ∆yi 2 = 1+xi 

yi = ∆xi f (ai), xi <a i < xi+1, поделим на ∆xi и получим

li= 1+[f ′(a )]2xi
Суммируя все величины, получим длину всей ломаной линии ln = ∑n 1+[f (ai)]2xi , i=1

которая приближенно выражает длину кривой на [a;b], и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆xi. Переходя к пределу при n→∞ и ∆xi →0, получим точное значение длины кривой в виде определенного интеграла: b [ ]2dx. l = ∫ 1+ f ′(x) a
Рассмотрим пример: найти длину


окружности.

l = 2−R R 1+ R 2x2x2 dx = 2−RR R2Rx2 dx = 2Rarcsin Rx RR =
= −2R(arcsin(1)−arcsin(−1)) = 2pR
5) Длина дуги кривой, заданной параметрически.
y = y(t)
  x = x(t) ⇒ f ′(x) = y x′′((tt) ) dx = x′(t)dt
Подставим это в формулу пункта 4:

l =a b ∫ (xt′ )2 + (yt′)2 dt
Рассмотрим пример: найти длину первой арки циклоиды
y = R(1− cost)⇒ y′(t) = Rsint
x = R(t − sint)⇒ x′(t) = R(1− cost)

l = 2∫p R2sin2t + R2(1− cost)2dt = R22 p sin2t +1− 2cost + cos2tdt =
0 0

2p 2p t = −4Rcos t 2p =8R
= R ∫ 2(1− cost)dt = 2R ∫ sin 2dt 2 0
0 0

Кривая в ПСК задана уравнением: ρ=f(φ).
Kак известно, декартовая и полярная системы координат связаны соотношениями:
y = r sinj x = r cosj

т.е. кривую можно рассматривать как заданную в параметрическом виде, где φ - параметр, тогда можно использовать формулу пункта 5
yj′ = r ′sinj + r cosj
xj = r ′cosj r sinj

подставим эти производные в формулу пункта 5: b
l = ∫ [r ′(j )]2 +[r (j )]2dj .
a
Рассмотрим пример: найти длину кардиоиды, ее уравнение имеет вид r =a (1+cosj ).


p 2sin2j +a 2(1+cosj ) cosj dj =
l = 2 ∫ a
0
= 2a p ∫ 4cos2 j2dj = 4a p0∫cosj2dj =8a p0∫cosj2d j2 =8a sinj2p 0 =8a 0

  1. Объем тела по площадям поперечных сечений


Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков точками a=x0 x1 , x2 , ……, xn=b. Разрежем тело на n частей плоскостями x =xi (плоскость, перпендикулярная оси OX) . Площади поперечных сечений тела будут представлять из себя непрерывную функцию S(х). Внутри каждого отрезка разбиения берем точку αi и вычисляем площадь поперечного сечения тела для
этой координаты. Тогда приближенно объем i-ой части тела будет равен Vi S(ai)∆xi. Просуммировав все эти значения получим Vn i S(ai)∆xi .
n =1
Последнее выражение представляет собой интегральную сумму, приближенно выражающую объем данного тела, и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆xi. Переходя к пределу при n→∞ и ∆xi →0, получим точное значение объема тела в виде определенного интеграла: V dx

  1. Объем тела вращения.

Y=f(x)

Тело получено вращением непрерывной на отрезке [a;b] функции вокруг оси OX. Так как это – тело вращения, то поперечное сечение представляет собой круг с радиусом y , значит S(x) =py2 =p( f (x))2.
Подставляя последнее равенство в формулу пункта 7, получим объем тела вращения:

Рассмотрим пример: найти объем шара.

V =p R 2 − x2)dx =pR2x Rx3 R = 4pR3

−∫ (R − 3 −R 3
R  R
9) Площадь поверхности тела вращения.

Тело образовано вращением непрерывной кривой y=f(x) вокруг оси OX на
[a;b]. Разобьем [a;b] на n отрезков точками a=x0 x1 , x2 ,… , xn=b. Заменим кривую f(x) ломаной линией, длина каждого звена которой равна (смотри пункт 4)

2

li = ∆xi2 + ∆yi2 = 1+  ∆∆yxi i  ∆xi = 1+ [f ′(ai)]2∆xi
Приближенно площадь поверхности вращения i-ого звена имеет вид:
Si ≈ 2pf (ai) 1+[f ′(ai)]2xi . Просуммировав, получим
Sn = 2p n f (ai) 1+[f ′(ai)]2x .
i= 0

Последнее выражение представляет собой интегральную сумму, приближенно выражающую искомую площадь поверхности вращения, и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆xi. Переходя к пределу при n→∞ и ∆xi →0, получим точное значение площади поверхности вращения в виде определенного интеграла: b [ ]2dx
S = 2p f (x) 1+ f (x) a
Рассмотрим пример: найти площадь поверхности шара.

RR 2 x2 R dx = 2pRx R=
R R2 − x2 −R
§15 Несобственные интегралы.
1) Интегралы с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: t
f (x)dx , когда t→∞.
a
t
Определение: предел lim ∫ f (x)dx
t→∞a
называется несобственным интегралом с бесконечно большим верхним пределом
t
lim ∫ f (x)dx = f (x)dx (1). t→∞a a
Если предел (1) существует как конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся (то есть когда он равен бесконечности или вообще не существует). Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом: lim f (x)dx (2). t→−∞ t −∞
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами вводится следующим образом:
+
dx (3).
Если оба интеграла, стоящих в правой части равенства (3) сходятся, то тогда сходится и интеграл, стоящий слева.
Рассмотрим пример:

∞∫ 12dx = −1x∞ 1 = 0 +1;сходится
1 x
∞∫ x1 dx = ln x∞ 1 = ∞ − 0; расходится
1
∞∫ dx = 2 x∞ = ∞; расходится. Т.о.приходимквыводу:
1 x 1
1 p >1сходится
p dx
1 x p ≤1расходится
Теорема. Признак сравнения: если для всех x≥a выполняется неравенство φ(x)≤f(x) и известно, что несобственный интеграл dx сходится, то тогда сходится и интеграл dx.
Если для всех x≥a f(x)≤φ(x) и известно, что dx расходится, то так же
расходится и интеграл dx .
Рассмотрим пример: исследовать на сходимость
dx

1x + 3 x + x3 . Возьмем для сравнения интеграл, который сходится -

1 x3dx , x +31x + x3 < x13 значит, исследуемый интеграл также сходится.
2) Интегралы от разрывных функций.
Пусть функция у=f(x) определена на [a;b], а в точке x=b функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае интеграл dxназывается несобственным и определяется следующим образом b t
f (x)dx = lim ∫ f (x)dx (1). a t b−0a
Если предел (1) существует (как конечное число), то такой интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если у=f(x) непрерывна на интервале [a;b] , а в точке x=a терпит разрыв, то тогда несобственный интеграл имеет вид: b b
f (x)dx = lim ∫ f (x)dx (2) a t a+0t
Если предел (2) существует (как конечное число), то такой интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если же подынтегральная функция терпит разрыв внутри интервала [a;b], то несобственный интеграл определяется так:
dx,
где несобственные интегралы, стоящие справа, определяются формулами (1) и (2) соответственно. Интеграл, стоящий слева сходится, когда сходятся оба несобственных интеграла, стоящих справа.
Рассмотрим пример:
1∫1x 1 dx = 012 dx+10∫ x12 dx =t →lim0−0−t∫1x12 dx+t →lim0+ 01 tx12 dx =
2 −1x

1 t − →lim0+01x1 t =(∞−1)−(1−∞) = ∞ = − lim x −1 t

t −0
Интеграл расходится.

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Download 1,33 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish