§14 Геометрические приложения определенного интеграла.
1) Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат. а)
Рассмотрим пример: найти площадь фигуры, заключенной между графиками функций
S =10∫xdx−10 ∫x2dx = x2210− x33 01= 12 −0−13−0 = 1 6
б) Отрезок [a;b] надо разбить на 2 отрезка:
a c b x
S dx
0 2
Scosx)−cosx= (1−0)−(0−1) = 2
−p0
2
2) Площадь фигур, ограниченных кривыми, заданными в параметрической форме.
Пусть кривая L2 ограничивает фигуру сверху, а кривая L1 ограничивает снизу:
2 y = f2 (x) 2′ (t)dt L :x =j 2 (x) dx =j
dx =j L1 :x y ==jf11((xx) ) 1′ (t)dt
Подставляем в формулу (1а): b b
,
α и β – пределы интегрирования по параметру t. x
dx = −asintdt x = acost
− a = acosa ⇒a =p
a = acosb ⇒ b = 0
b
S = 2 ∫bsint(−asint) a = 2abp ∫sin2tdt = 2abp∫1− cos2tdt = ab(tp − 1sin2tp ) =pab
0 0 2 0 2 0
3) Площадь фигур в полярной системе координат.
Напомним, что в ПСК точки на плоскости определяются двумя координатами, r - полярный радиус, φ- полярный угол (против часовой стрелки - отсчет угла положительный). Необходимо найти площадь:
Разобьем угол β - α на n углов:∆ φ1, ∆ φ2,…,∆ φn, и, соответственно, данную фигуру на n элементарных секторов.
Внутри каждого сектора возьмем фиксированное значение угла αi и введем обозначение ρi=ρ(αi). Приближенно площадь данного элементарного сектора берем как площадь треугольника с высотой ρi и с основанием ∆φi ρi: Si j i Просуммировав, получим:
Sn ≈ i∑=n 112 r i2∆j i
Sn приближенно выражает площадь данной фигуры. И тем точнее, чем больше n и чем меньше каждое из ∆φi. Тогда точное значение площади получим, переходя к пределу при n→∞ и ∆φi →0. А так как предел интегральной суммы есть определенный интеграл, то:
Рассмотрим пример: найти площадь одного лепестка лемнискаты.
Уравнение лемнискаты r = a cos2j
Sj dj = 1 a2 sin 2j 4= a2 (1+1 ) = a2
2 2 p4 2
−
4 4
4) Длина дуги кривой в декартовой системе координат.
На [a;b] кривая описывается уравнением y=f(x). y=f(x) непрерывна на [a;b]. Необходимо найти длину этой линии.
Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков точками a=x0 , x1,x2, …., xi, xi+1,.. , xn=b. Заменим кривую ломаной линией, длина каждого звена которой равна
) ( ) ∆yi 2 ∆xi , по теореме Лагранжа ∆li = ∆xi 2 + ∆yi 2 = 1+ ∆xi
∆yi = ∆xi f ′(ai), xi <a i < xi+1, поделим на ∆xi и получим
∆li= 1+[f ′(a )]2∆xi
Суммируя все величины, получим длину всей ломаной линии ln = ∑n 1+[f ′(ai)]2∆xi , i=1
которая приближенно выражает длину кривой на [a;b], и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆xi. Переходя к пределу при n→∞ и ∆xi →0, получим точное значение длины кривой в виде определенного интеграла: b [ ]2dx. l = ∫ 1+ f ′(x) a
Рассмотрим пример: найти длину
окружности.
l = 2−R ∫R 1+ R 2x−2x2 dx = 2−R∫R R2R− x2 dx = 2Rarcsin Rx −RR =
= −2R(arcsin(1)−arcsin(−1)) = 2pR
5) Длина дуги кривой, заданной параметрически.
y = y(t)
x = x(t) ⇒ f ′(x) = y x′′((tt) ) ⇒ dx = x′(t)dt
Подставим это в формулу пункта 4:
l =a b ∫ (xt′ )2 + (yt′)2 dt
Рассмотрим пример: найти длину первой арки циклоиды
y = R(1− cost)⇒ y′(t) = Rsint
x = R(t − sint)⇒ x′(t) = R(1− cost)
l = 2∫p R2sin2t + R2(1− cost)2dt = R22 ∫p sin2t +1− 2cost + cos2tdt =
0 0
2p 2p t = −4Rcos t 2p =8R
= R ∫ 2(1− cost)dt = 2R ∫ sin 2dt 2 0
0 0
Кривая в ПСК задана уравнением: ρ=f(φ).
Kак известно, декартовая и полярная системы координат связаны соотношениями:
y = r sinj x = r cosj
т.е. кривую можно рассматривать как заданную в параметрическом виде, где φ - параметр, тогда можно использовать формулу пункта 5
yj′ = r ′sinj + r cosj
x′j = r ′cosj − r sinj
подставим эти производные в формулу пункта 5: b
l = ∫ [r ′(j )]2 +[r (j )]2dj .
a
Рассмотрим пример: найти длину кардиоиды, ее уравнение имеет вид r =a (1+cosj ).
p 2sin2j +a 2(1+cosj ) cosj dj =
l = 2 ∫ a
0
= 2a p ∫ 4cos2 j2dj = 4a p0∫cosj2dj =8a p0∫cosj2d j2 =8a sinj2p 0 =8a 0
Объем тела по площадям поперечных сечений
Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков точками a=x0 x1 , x2 , ……, xn=b. Разрежем тело на n частей плоскостями x =xi (плоскость, перпендикулярная оси OX) . Площади поперечных сечений тела будут представлять из себя непрерывную функцию S(х). Внутри каждого отрезка разбиения берем точку αi и вычисляем площадь поперечного сечения тела для
этой координаты. Тогда приближенно объем i-ой части тела будет равен Vi ≈ S(ai)∆xi. Просуммировав все эти значения получим Vn ≈ i ∑ S(ai)∆xi .
n =1
Последнее выражение представляет собой интегральную сумму, приближенно выражающую объем данного тела, и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆xi. Переходя к пределу при n→∞ и ∆xi →0, получим точное значение объема тела в виде определенного интеграла: V dx
Объем тела вращения.
Y=f(x)
Тело получено вращением непрерывной на отрезке [a;b] функции вокруг оси OX. Так как это – тело вращения, то поперечное сечение представляет собой круг с радиусом y , значит S(x) =py2 =p( f (x))2.
Подставляя последнее равенство в формулу пункта 7, получим объем тела вращения:
Рассмотрим пример: найти объем шара.
V =p R 2 − x2)dx =pR2x R− x3 R = 4pR3
−∫ (R − 3 −R 3
R R
9) Площадь поверхности тела вращения.
Тело образовано вращением непрерывной кривой y=f(x) вокруг оси OX на
[a;b]. Разобьем [a;b] на n отрезков точками a=x0 x1 , x2 ,… , xn=b. Заменим кривую f(x) ломаной линией, длина каждого звена которой равна (смотри пункт 4)
2
∆li = ∆xi2 + ∆yi2 = 1+ ∆∆yxi i ∆xi = 1+ [f ′(ai)]2∆xi
Приближенно площадь поверхности вращения i-ого звена имеет вид:
Si ≈ 2pf (ai) 1+[f ′(ai)]2∆xi . Просуммировав, получим
Sn = 2p ∑n f (ai) 1+[f ′(ai)]2∆x .
i= 0
Последнее выражение представляет собой интегральную сумму, приближенно выражающую искомую площадь поверхности вращения, и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆xi. Переходя к пределу при n→∞ и ∆xi →0, получим точное значение площади поверхности вращения в виде определенного интеграла: b [ ]2dx
S = 2p ∫ f (x) 1+ f (x) a
Рассмотрим пример: найти площадь поверхности шара.
R∫ R 2 − x2 R dx = 2pRx R=
−R R2 − x2 −R
§15 Несобственные интегралы.
1) Интегралы с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: t
∫ f (x)dx , когда t→∞.
a
t
Определение: предел lim ∫ f (x)dx
t→∞a
называется несобственным интегралом с бесконечно большим верхним пределом
t ∞
lim ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx (1). t→∞a a
Если предел (1) существует как конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся (то есть когда он равен бесконечности или вообще не существует). Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом: lim f (x)dx (2). t→−∞ t −∞
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами вводится следующим образом:
+
dx (3).
Если оба интеграла, стоящих в правой части равенства (3) сходятся, то тогда сходится и интеграл, стоящий слева.
Рассмотрим пример:
∞∫ 12dx = −1x∞ 1 = 0 +1;сходится
1 x
∞∫ x1 dx = ln x∞ 1 = ∞ − 0; расходится
1
∞∫ dx = 2 x∞ = ∞; расходится. Т.о.приходимквыводу:
1 x 1
∞ 1 p >1сходится
∫ p dx
1 x p ≤1расходится
Теорема. Признак сравнения: если для всех x≥a выполняется неравенство φ(x)≤f(x) и известно, что несобственный интеграл dx сходится, то тогда сходится и интеграл dx.
Если для всех x≥a f(x)≤φ(x) и известно, что dx расходится, то так же
расходится и интеграл dx .
Рассмотрим пример: исследовать на сходимость
∞ dx
1∫ x + 3 x + x3 . Возьмем для сравнения интеграл, который сходится -
1 x3dx , x +31x + x3 < x13 значит, исследуемый интеграл также сходится.
2) Интегралы от разрывных функций.
Пусть функция у=f(x) определена на [a;b], а в точке x=b функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае интеграл dxназывается несобственным и определяется следующим образом b t
∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx (1). a t →b−0a
Если предел (1) существует (как конечное число), то такой интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если у=f(x) непрерывна на интервале [a;b] , а в точке x=a терпит разрыв, то тогда несобственный интеграл имеет вид: b b
∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx (2) a t → a+0t
Если предел (2) существует (как конечное число), то такой интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если же подынтегральная функция терпит разрыв внутри интервала [a;b], то несобственный интеграл определяется так:
dx,
где несобственные интегралы, стоящие справа, определяются формулами (1) и (2) соответственно. Интеграл, стоящий слева сходится, когда сходятся оба несобственных интеграла, стоящих справа.
Рассмотрим пример:
−1∫1x 1 dx = 0∫ 12 dx+10∫ x12 dx =t →lim0−0−t∫1x12 dx+t →lim0+ 01 t∫ x12 dx =
2 −1x
→ 1 t − →lim0+01x1 t =(∞−1)−(1−∞) = ∞ = − lim x −1 t
t −0
Интеграл расходится.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Do'stlaringiz bilan baham: |