Opr int doc

§11 Подстановка в определенном интеграле.
Вычисление определенного интеграла начинается с нахождения первообразной, при этом могут использоваться различные методы интегрирования, рассмотренные в разделе «неопределенный интеграл», в том числе и замена переменной (подстановка). Пределы интегрирований относятся к первоначальной переменной х, поэтому после использования подстановки (перед тем, как подставлять пределы по формуле НьютонаЛейбница) необходимо не забывать делать следующее:
либо вернуться к старой переменной x, либо поменять пределы интегрирования.
Пример: найти площадь круга:

_
x = Rsint ⇒  ^^−RR==sinsint2t1⇒⇒t2t1==p2 −^p 2
dx = Rcostdt

S = 2 R∫ R 2 − x2dx = 2t2∫ RcostRcostdt 2 2 2 1+cos2t
−R t1
p
= R2 t + 12sin2t−2p= R2(p2 +0)−(−p2 −0) =pR2

2
§12 Интегрирование по частям в определенном интеграле.
См. введение в §11. Один из методов – метод интегрирования по частям.
Пусть даны две дифференцируемые функции u(x) и v(x).

d(uv)=udv+vdu

vdu

bb b
uv= ∫udv+ ∫vdu aa a

b bb
∫udv =uva−a ∫vdu (1) a
(1) - формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Рассмотрим пример:
^e∫ xln xdx = (u = ln x,du dx,dv = xdx,v = ^x2) = ^x2 ln x ^e− ^e∫ ^x2 ¹dx =

12 2 11 2 x

= e² − x² e= e² − e² + 1 = e² +1
2 4 12 4 4 4