Opr int doc

§14 Геометрические приложения определенного интеграла.
1) Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат. а)


Рассмотрим пример: найти площадь фигуры, заключенной между графиками функций


S =10∫xdx−10 ∫x2dx = x2210− x33 01= 12 −0−13−0 = 1 6
б) Отрезок [a;b] надо разбить на 2 отрезка:

a c b ^x
S dx


0 ²
Scosx)−cosx= (1−0)−(0−1) = 2

−p0
2
2) Площадь фигур, ограниченных кривыми, заданными в параметрической форме.
Пусть кривая L₂ ограничивает фигуру сверху, а кривая L₁ ограничивает снизу:

₂ y = f² (x) ₂^′ (t)dt L :x =j 2 (x) dx =j



dx =j L1 :x y ==jf11((xx) ) 1′ (t)dt

2 S ^′^1^′(t)dt

Подставляем в формулу (1а): b b
,
α и β – пределы интегрирования по параметру t. x

dx = −asintdt

x = acost

− a = acosa ⇒a =p

a = acosb ⇒ b = 0

b

S = 2 ∫bsint(−asint) a

= 2abp ∫sin²tdt = 2abp_∫^{1− cos2t}dt = ab(tp − ¹sin2tp ) =pab

0 0 2 0 2 0

3) Площадь фигур в полярной системе координат.
Напомним, что в ПСК точки на плоскости определяются двумя координатами, r - полярный радиус, φ- полярный угол (против часовой стрелки - отсчет угла положительный). Необходимо найти площадь:

Разобьем угол β - α на n углов:∆ φ₁, ∆ φ_2,…,∆ φ_n, и, соответственно, данную фигуру на n элементарных секторов.

Внутри каждого сектора возьмем фиксированное значение угла α_i и введем обозначение ρ_i=ρ(α_i). Приближенно площадь данного элементарного сектора берем как площадь треугольника с высотой ρ_i и с основанием ∆φ_i ρ_i: ^Si ^j i Просуммировав, получим:
Sn ^≈ _i^∑=ⁿ ₁¹₂ r i²∆j i
S_n приближенно выражает площадь данной фигуры. И тем точнее, чем больше n и чем меньше каждое из ∆φ_i. Тогда точное значение площади получим, переходя к пределу при n→∞ и ∆φ_i →0. А так как предел интегральной суммы есть определенный интеграл, то:

Рассмотрим пример: найти площадь одного лепестка лемнискаты.

Уравнение лемнискаты r = a cos2j


Sj dj = 1 a2 sin 2j 4= a2 (1+1 ) = a2

2 2 p4 2
−
4 4
4) Длина дуги кривой в декартовой системе координат.

На [a;b] кривая описывается уравнением y=f(x). y=f(x) непрерывна на [a;b]. Необходимо найти длину этой линии.
Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков точками a=x₀ , x₁,x_2, …., x_i, x_i+1,_.. , x_n=b. Заменим кривую ломаной линией, длина каждого звена которой равна

) ( )  ∆yi ^2 ∆x_i , по теореме Лагранжа ∆l_i = ∆x_i ² + ∆y_i ² = 1+^_{ ∆xi 
}
∆y_i = ∆x_i f ^′(^a_i), x_i <^a _i < x_i+₁, поделим на ∆x_i и получим

∆l_i= 1+[f ′(a ⁾]²∆x_i
Суммируя все величины, получим длину всей ломаной линии ln = ∑n 1+[f ^′(a_i)]²∆x_i , _i=₁

которая приближенно выражает длину кривой на [a;b], и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆x_i. Переходя к пределу при n→∞ и ∆x_i →0, получим точное значение длины кривой в виде определенного интеграла: b [ ]²dx. l = ∫ 1+ f ′(x) a
Рассмотрим пример: найти длину


окружности.

l = 2−R ∫R 1+ R 2^x−²x2 dx = 2−^R∫R R2^R− x2 dx = 2Rarcsin R^x −RR =
= −2R(arcsin(1)−arcsin(−1)) = 2pR
5) Длина дуги кривой, заданной параметрически.
y = y(t)
 ^ x = x(t) ⇒ f ′(x) = ^y x′′((tt) ) ⇒ dx = x′(t)dt
Подставим это в формулу пункта 4:

l =a b ∫ (xt′ )2 + (yt′)2 dt
Рассмотрим пример: найти длину первой арки циклоиды
y = R(1− cost)⇒ y′(t) = Rsint
^x = R(t − sint)⇒ x′(t) = R(1− cost)

l = 2∫p R²sin²t + R²(1− cost)²dt = R²² ∫p sin²t +1− 2cost + cos²tdt =
0 0

2p 2p ^t = −4Rcos ^t 2p =8R
= R ∫ 2(1− cost)dt = 2R ∫ sin 2dt 2 0
0 0

Кривая в ПСК задана уравнением: ρ=f(φ).
Kак известно, декартовая и полярная системы координат связаны соотношениями:
y = r sinj ^ x = r cosj
_
т.е. кривую можно рассматривать как заданную в параметрическом виде, где φ - параметр, тогда можно использовать формулу пункта 5
yj′ = r ′sinj + r cosj
x′j = r ′cosj − r sinj

подставим эти производные в формулу пункта 5: b
l = ∫ [r ′(j )]² +[r (j )]²dj .
a
Рассмотрим пример: найти длину кардиоиды, ее уравнение имеет вид r =a (1+cosj ).


p ²sin²j +a ²(1+cosj ) cosj dj =
l = 2 ∫ a
0
= 2a p ∫ 4cos^{2 j}2dj = 4a p0∫cos^j2dj =8a p0∫cos^j2d ^j2 =8a sin^j2p 0 =8a 0

7. 
   Объем тела по площадям поперечных сечений
   

Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков точками a=x₀ x_{1 ,} x₂ , ……, x_n=b. Разрежем тело на n частей плоскостями x =x_i (плоскость, перпендикулярная оси OX) . Площади поперечных сечений тела будут представлять из себя непрерывную функцию S(х). Внутри каждого отрезка разбиения берем точку α_i и вычисляем площадь поперечного сечения тела для
этой координаты. Тогда приближенно объем i-ой части тела будет равен ^Vi ≈ S(^ai)∆^xi. Просуммировав все эти значения получим Vn ≈ i ∑ S(a_i)∆x_i .
n =₁
Последнее выражение представляет собой интегральную сумму, приближенно выражающую объем данного тела, и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆x_i. Переходя к пределу при n→∞ и ∆x_i →0, получим точное значение объема тела в виде определенного интеграла: V dx

7. 
   Объем тела вращения.
   

Y=f(x)

Тело получено вращением непрерывной на отрезке [a;b] функции вокруг оси OX. Так как это – тело вращения, то поперечное сечение представляет собой круг с радиусом y , значит S(x) =py² =p( f (x))².
Подставляя последнее равенство в формулу пункта 7, получим объем тела вращения:

Рассмотрим пример: найти объем шара.

V =p R 2 − x2)dx =pR2x R− x3 R = 4pR3

−∫ (R − 3 −R 3
R  R
9) Площадь поверхности тела вращения.

Тело образовано вращением непрерывной кривой y=f(x) вокруг оси OX на
[a;b]. Разобьем [a;b] на n отрезков точками a=x₀ x_{1 ,} x₂ ,… , x_n=b. Заменим кривую f(x) ломаной линией, длина каждого звена которой равна (смотри пункт 4)

2

∆li = ∆xi2 + ∆yi2 = 1+  ∆∆yxi i  ∆xi = 1+ [f ′(ai)]2∆xi
Приближенно площадь поверхности вращения i-ого звена имеет вид:
S_i ≈ 2pf (^a_i) 1+[f ′(^a_i)]²∆^x_i . Просуммировав, получим
Sn = 2p ∑n f (a_i) 1+[f ′(a_i)]²∆x .
_i= ₀

Последнее выражение представляет собой интегральную сумму, приближенно выражающую искомую площадь поверхности вращения, и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждый из ∆x_i. Переходя к пределу при n→∞ и ∆x_i →0, получим точное значение площади поверхности вращения в виде определенного интеграла: b [ ]²dx
S = 2p ∫ f (x) 1+ f (x) a
Рассмотрим пример: найти площадь поверхности шара.

^R∫ R ² − x^{2 R} dx = 2pRx R=
−R R2 − x2 −R
§15 Несобственные интегралы.
1) Интегралы с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: t
∫ f (x)dx , когда t→∞.
a
t
Определение: предел lim ∫ f (x)dx
t→∞a
называется несобственным интегралом с бесконечно большим верхним пределом
t ∞
lim ∫ f (x)dx ⁼ ∫ f (x)dx (1). t→∞a a
Если предел (1) существует как конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся (то есть когда он равен бесконечности или вообще не существует). Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом: _lim f (x)dx (2). t→−∞ t −∞
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами вводится следующим образом:
+
dx (3).
Если оба интеграла, стоящих в правой части равенства (3) сходятся, то тогда сходится и интеграл, стоящий слева.
Рассмотрим пример:

∞∫ ¹2dx = −¹x∞ 1 = 0 +1;сходится
1 x
∞∫ x¹ dx = ln x∞ 1 = ∞ − 0; расходится
1
∞∫ ^dx = 2 x∞ = ∞; расходится. Т.о.приходимквыводу:
1 x 1
∞ 1 p >1сходится
∫ ^p dx
1 ^x p ≤1расходится
Теорема. Признак сравнения: если для всех x≥a выполняется неравенство φ(x)≤f(x) и известно, что несобственный интеграл dx сходится, то тогда сходится и интеграл dx.
Если для всех x≥a f(x)≤φ(x) и известно, что dx расходится, то так же
расходится и интеграл dx .
Рассмотрим пример: исследовать на сходимость
∞ dx

1^∫ x + ³ x + x3 . Возьмем для сравнения интеграл, который сходится -

1 x3^dx , x +3¹x + x3 ^< x13 значит, исследуемый интеграл также сходится.
2) Интегралы от разрывных функций.
Пусть функция у=f(x) определена на [a;b], а в точке x=b функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае интеграл dxназывается несобственным и определяется следующим образом b t
∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx (1). a t →b−0a
Если предел (1) существует (как конечное число), то такой интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если у=f(x) непрерывна на интервале [a;b] , а в точке x=a терпит разрыв, то тогда несобственный интеграл имеет вид: b b
∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx (2) a t → a+0t
Если предел (2) существует (как конечное число), то такой интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если же подынтегральная функция терпит разрыв внутри интервала [a;b], то несобственный интеграл определяется так:
dx,
где несобственные интегралы, стоящие справа, определяются формулами (1) и (2) соответственно. Интеграл, стоящий слева сходится, когда сходятся оба несобственных интеграла, стоящих справа.
Рассмотрим пример:
−¹∫1x ¹ dx = ⁰∫ ¹2 dx+¹0∫ x¹2 dx =t →lim0−0−^t∫1x¹2 dx+t →lim0+ 0¹ t∫ x¹2 dx =
2 −1x

→ ¹ t − →lim0+0¹x¹ t =(∞−1)−(1−∞) = ∞ = − lim x −1 t

t −0
Интеграл расходится.

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com