Operatorlar fazosi

KIRISH.

Chiziqli algebra kursida o’rganilgan chekli o’lchovli fazolar poydevor qilib olinib, cheksiz o’lchovli – abstract funksional fazolar qaraladi va o’rganiladi. Asosiy funksional fazolar xossalarini o’rganish; keyinchalik bu fazolarda aniqlanadigan funksional va operatorlarining xususiyatlarini o’rganishga xizmat qiladi.
Funksional analiz fani asosiy funsional: vector fazolar, materik fazolar, normalangan, banax, eviklid fazolari xususiyatlarini o’rganadi va bu fazolarda funsionallar, chiziqli opertorlar, chiziqli chegaralangan operatorlar, integral operatorlarni o’rganadi. Talabalar normalangan va Banax fazolarining asosiy teoremalari – to’lalik, kompaktlilik, separrabelilik xaqida yetarlicha tushunchaga ega bo’lishi, chiziqli operatorlar va integral tenglamalarning yechimlari mavjudligi xaqidagi asosiy teoremalarni o’zlashtirib olishi nazarda tutiladi. Funsional amaliz kursi chiziqli algebra, matematik analiz va umumiy topologiya kurslariga asoslangan bo’ilb, talabalar bu kurslar bo’yicha yetarli ko’nikmaga ega bo’lishlari talab qilinadi.


Operatorlar fazosi

E va F chizikli fazolar bulib, L(E,F) esa E fazoni F fazoga akslantiradigan barcha chizikli operatorlar tuplami bo’lsin. L(E,F) tuplamda (A+V)x=Ax+Vx tenglik bilan ikkata A va V operatorlarni kushish amalini aniqlash mumkin. Xuddi shuningdek, bu tuplamda A operatorni €R songa kupaytirish amalini xam kuyidagicha aniqlash mumkin: (A)x=Ax

L(E,F) tuplamni kiritilgan amallarga nisbatan chizikli fazo tashkil etishini tekshirish kiyin emas. Masalan, bu fazoning nol elemnet o- nol operator bo’ladi. A operatorga karama-karshi operator bo’ladi. A operatorga karama-karshi operator esa, (-1) A bo’ladi.
Xususiy xolda, agar E=F bo’lsa, ya’ni aniqlanish sohasi E bo’lgan operatorlarning qiymatlar sohasi xam yana E fazoda yotsa, u xolda L(E,F) fazoda operatorlarni kupaytirish amalini xam aniqlash mumkin bo’ladi. Agar A,V€ L(E,F) bo’lsa, (AV) x=A(Vx) tenglik bilan A va V operatorlarni kupaytirishga nisbatan birlik element rolini uynaydi va L(E,F) tuplam birlik elementli xalka tashkil etadi. Bu xalka tashkil etadi. Bu xalka umumiy xolda kommutativ emas. Masalan, E=R_n bulib n>1 shart bajarilsa L(R_n,R_n) fazo barcha ikkinch tartibli xakikiy elementli matristalar xalkasiga izomorf bo’lgan xalka bulib, bu xalka kommutativ emas. Agar A € L(E,E) operator uchun AV=J va SA=J (bu erda J- ayniy almashtirish) tengliklarni qanoatlantiruvchi V va S operatorlar mavjud bo’lsa, u xolda V va S operatorlar bir xil bo’ladi, chunki V= (SA)V= S(AV)=SJ=C iunosabatlar urnili bo’ladi. Shu bilan birga bunday V operatorni A ga teskari operator deyiladi va uni A^-1 ko’rinishda belgilanadi.
Aytaylik, E va F normalangan fazolar bo’lsin. U xolda, A: E→F operator uchun ║Ax║K║x║, E tengsizlik qanoatlantiruvchi K son mavjud bo’lgan xolda A operatorni chegaralangan deyiladi. AL(E,F) operator uchun ║A║=inf{K|║Ax║K║x║, E} son uning normasi deyiladi. Operatorning normasi uchun ║A║=sup║Ax║=sup║Ax║

║x║1 ║x║=1

munosabatlar o’rinli ekanin isbotlash mumkin.
Haqiqatan xam, ║A║ tengsizlikni qanoatlantiruvchi xE elementlar uchun ║Ax║K o’rinli bo’ladi. Demak, sup║Ax║K o’rinli, ya’ni
^║x║1
sup║Ax║║Ax║ bajariladi. U xolda, ║A║=sup║Ax║=sup║Ax║║Ax║ (1)
^{║x║1 ║x║1 ║x║1}
Agar ║A║=0 , bo’lsa ║A║sup║Ax║ tengsizlik xam bajariladi. ^║x║=1
Agar ║A║0 bo’lsa, 00║>b║x₀║ (x₀0) shartni qanoatlantiruvchi x₀ element mavjud bo’ladi. element uchun ║u₀║=1 va ║Au₀║= . Bundan olingan b son dan kichik ixtiyoriy son bo’lgani uchun oxirgi tengsizlikdan ushbu (2) tengsizlik hosil bo’ladi. (1) va (2) tengsizliklardan tenglik kelib chiqadi.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Masalan, 3 xossa quyidagicha isbotlanadi.

Bu xossalar L(E,F) fazoning normallangan fazo ekanini bildiradi.
Xususan, F=R ,bo’lgan hol uchun L(E,F)-uzluksiz chiziqli funkstionallar fazosi nomalangan bo’lib, uni E ga qo’shma fazo deyiladi.
Misollar. E=R_n F=R_m ,bo’lsin. Chiziqli A:R_nR_m operatorni aniqlash uchun R_n fazodagi biror e₁, e₂, ... , e_n orqali Ae_i vektorlarni bu bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz, ya’ni
Agar ixtiyoriy vektor bo’lsa, u holda
bu erda
Demak A operator (a_ij) matrista yordamida aniqlanib, u x=(x₁,x₂,…,x_n) vektorga quyidagicha ta’sir etadi.

R_n va R_m fazolarida oddiy Evklid normasini olamiz, masalan, xR_n uchun
Uxolda ya’ni munosabat o’rinli. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir.
A chiziq almashtirish ixtiyoriy ekanrliginidan har qanday A:R_n®R_m chiziqli operator uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi.
2. E seperabel Gilbert fazosi bo’lib, e₁,e₂,…,e_n uning ortogonal bizisi bo’lsin u holda ixtiyoriy xÎE elementni ko’rinishida yozish mumkin. Biror C>0 soni uchun tengsizlik uni qanoatlantiruvchi ketma – ketligini olib operatorni quyidagicha aniqlaymiz:

A operatorning mavjudligi tengsilikdan va Riss – fisher teoremasidan kelib chiqadi. A operatorning chiziqli ekanligi uning qurilishidan kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, A operatorning qurilishidan tenglik ham kelib chiqadi. Agar belgilashni kiritsak, munosabatlar hosil bo’ladi. Bundan {e_i} bazisning ortonormalligidan, kelib chiqadi, ya’ni . Demak,
Teorema. Agar F – Banax fazosi bo’lsa, u holda normallangan E fazoni F ga akslantiradigan barcha chiziqli va chegaralangan operatorlar to’plami L(E,F) ham Banax fazosi bo’ladi.
Isbot. L(E,F) fazodagi normaga nisbatan fundamental bo’lgan {A_n} operatorlar berilgan bo’lsin, ya’ni n,m®¥ da U holda ixtiyoriy xÎE element uchun n,m®¥ da .
Demak, har bir xÎE uchun {A_nx} ketma – ketlik fundamentaldir. F fazoning to’la ekanligidan bu {A_nx} ketma – ketlik biror eÎF elementga intiladi. Shunday qilib, har bir x elementga F bitta elementi mos qo’yilmoqda, bu moslikni A bilan belgilaymiz, ya’ni bo’lsa, y=Ax deb olamiz.
U holda bu A:E®F operator additiv bo’ladi, chunki munosabatlar o’rinli. Endi A operatorni chegaralanganligini kuzatamiz. Shartga asosan, {A_n} ketma – ketlik normaga nisbatan fundamentaldir. Bundan va tengsizlikdan sonli ketma – ketlikni fundamentalligi kelib chiыadi. Demak, bu ketma – ketlik chegaralangan hamdir, ya’ni shunday K son mavjudki, barcha n lar uchun o’rinli bo’ladi. Shuning uchun va bajariladi. Oxirgi munosabat chegaralanganligi ifodalaydi. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir. Bu operator {A_n} operatorning norma ma’nosidagi yaqinlashishga nisbatan limiti ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun shunday n₀ nomer topiladiki, bo’lganda tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x elementlar uchun tengsizlik bajariladi. Agar oxirgi tengsizlikda da limitga o’tsak tengsizlik barcha va shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun bajariladi. Shuning uchun tengsizlik bo’lganda o’rinli bo’ladi. Demak, .