Ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

matematika fanidan bilimlarni baholash bo‘yicha milliy sertifikatlash tizimini joriy etish zarurligi aytildi. Bunday syertifikat egasiga oliy o‘quv yurtiga o‘qishga kirishda matematika fanidan maksimal ball beriladi.

Toshkentdagi Talabalar shaharchasidagi Matematika institutining yangi binosiga tashrifida ushbu fanni eski uslubini tanqid qilib, matematikada raqobat muhitini yaratish maqsadini qo‘ydi. Endilikda Matematika instituti bolalar bog‘chalari, maktablar va OTMlarda matematikani o‘qitishni muvofiqlashtiradi.

“Matematika fanining tamal toshini Al-Xorazmiy, Ahmad Farg‘oniy, Abu Rayhon Beruniy kabi ulug‘ bobolarimiz qo‘ygan. Bu bizning qonimizda bor. Lekin oxirgi yigirma yilda matematikadan bilim darajasi pasayib ketdi. Chunki o‘qituvchilarga kerakli e’tibor, munosib oylik berolmadik, pirovard maqsad qo‘ya olmadik. Buning oqibati hozir ko‘pdan-ko‘p sohalarda sezilyapti. Bugun bu fanni rivojlantirishdan maqsadimiz — matematika bo‘yicha raqobat muhitini yaratish, sanoat, muhandislik yo‘nalishlari bo‘yicha yetuk kadrlar tayyorlash”, — dedi prezident.

Kurs ishining dolzarbligi: O’quvchi va talaba yoshlarni intellektual fikrlashini shakllantirish asosida o’quvchi va talaba yoshlarni qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning analitik kursiga ma’lum bo’lgan affin va dekart koorginatalar sistemasi haqidagi bilimlarni yanada chuqurlashtirish.Respublikamiz prezidenti Sh.Mirziyoyev hozirgi kunda 4 sohani rivojlantirish bo’yicha turli hil ishlarni amalga oshirib kelmoqda. Bu sohalardan biri matematika sohasi hisoblanadi.Matematika sohasi bo’yicha malakali kadrlar tayyorlash jarayonining xar hil bosqichi o’zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish,uni yuqori bosqichlarga ko’tarish,shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni amalga oshirish lozimligi kerakligi ta’kidlangan.Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etishda yan abir omilning mavjudligi, ya’ni,ta’lim jarayonining samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi hodimlarining malakali mutaxassis bo’lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo’lajak pedagog ekanmiz, o’sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli, bilimli,malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirilishiga o’z hissamizni qo’shishga harakat qilamiz.

Kurs ishining maqsadi: Affin va dekart koordinatalar sisitemasini almashtirishni o’rgatish.

Kurs ishining obyekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida Analitik geometriya fanini o’qitish jarayoni.

Kurs ishining predmeti: Analitik geometriya fanini o’qitish metodlari va vositalari.

Kurs ishining vositalari:

1.Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish.

2.Affin va dekart koordinatalar sistemasini o’rganish.

3.Affin va dekart koordinatalar sistemasini almashtirishni o’rganish.

4. Affin va dekart koordinatalar sistemasi ustida amallarni o’rganish

I BOB

1.1-mavzu: Fazoda koordinatalarning affin sistemasi.

Koordinatalar sistemasi tekislikda qanday kiritilgan bo’lsa, fazoda ham shu usulda kiritiladi.Aniqrog’i, koordinatalar affin sistemasi (affin reper) biror O nuqtadan quyidagi ma’lum tartibda olingan uchta nokoplanar vektorlar sistemasidan iborat,bu sistemani ko’rinishida belgilaymiz.

Sistema berilganda, fazodagi har bir nuqtani aniq bir vektorni doimo mos keltirish mumkin, ya’ni boshi koordinatalar boshida, oxiri esa berilgan nuqtada bo’lgan mos keltiriladi.

vektorning koordinatalari (x,y,z) bo’lsa,u holda bu uchta x,y,z son M nuqtaning affin reperidagi koordinatalari bo’ladi:

Demak, fazo nuqtalar ito’plami bilan ma’lum tartibda olingan haqiqiy sonlar uchliklari to’plami orasida biektiv moslik mavjud.

Berilgan nuqtaning koordinatalarini topish uchun shu nuqta radius-vektorining koordinatalarini topish kifoya va aksincha .

Umuman nuqtani yasash uchun, ya’ni

(1)

Vektorning oxirini topish uchun quyidagi qoidadan foydalaniladi:koordinatalar boshidan Ox o’q bo’yicha vector, uning oxiridan Oy o’qqa parallel holda vektor qo’yiladi, so’ngra uning oxiridan vektor yasalsa, shu vektorning oxiri izlangan nuqta bo’ladi.

Uchta koordinata tekisligi birgalikda fazoni sakkiz qismga ajratadi, ularning har biri oktantalar deb ataladi.quyidagi jadvalda oktantalar va undagi nuqta koordinatalarining ishoralari berilgan.

Ordinata koordinata	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	-	-	+	+	-	-	+
y	+	+	-	-	+	+	-	-
z	+	+	+	+	-	-	-	-

1.2-mavzu.Affin koordinatalar sistemasini almashtirish.

Fazoda biror nuqtaning tayin sistemadagi koordinatalaridan boshqa sistemadagi koordinatalariga o’tishga to’g’ri keladi.Biz shu masalani ikkita affin reper uchun hal qilamiz.

Affin reperlar berilgan bo’lsin.

I Hol.Reperlarning boshlari har xil bo’lib,basis vektorlari mos

ravishda kollinear bo’lsin,ya’ni , hamda ning ga nisbatan koordinatalari bo’lsin (1-chizma). U holda fazodagi ixtiyoriy M nuqtani va ga nisbatan koordinatalari mos ravishda va bo’lsa, shular orasidagi bog’lanishni izlaymiz:

Lekin bo’lgan bo’lgani uchun

Bundan tashqari, basis vektorlar mos ravishda kollinear bo’lgani uchun

Demak,

(1)

Bundan

, , (2)

bo’lsa ya’ni basis vektorlar mos ravishda o’zaro teng bo’lsa, quyidagi ko’rinishni oladi:

, , . (3)

Bu formulalar ba’zan koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish formulalari deb yuritiladi.

II Hol.Reperlarning boshlari bir xil, basis vektorlarning yo’nalishlari

esa har xil bo’lsin,u holda(1-chizma a chizma)

bo’lsin.Endi

(4)

Matritsa tuzamiz.Bu matritsani bir bazisdan ikkinchi bazisga o’tish matritsasi deb ataymiz, bazis vektorlar bo’lgani uchun (4) matritsaning determinanti noldan farqlidir.

. (5)

Aks holda, determinant bir satri qolgan ikki satrining chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’lib, ham chiziqli bog’liq bo’lar edi.

Fzoda ixtiyoriy nuqtaning va reperlariga nisbatan koordinatalarini mos ravishda va deb olsak;

Ya’ni

Endi bu tenglikka ning qiymatlarini qo’yib, ga nisbatan guruppalasak,

Bundan

(6)

Ushbu (7)

Matritsa almashtirish matritsasi deb ataladi.(6) va (7) matritsalar o’zaro transponirlangan matritsalardir.Bu matritsalar kvadrat matritsalar bo’lgani uchun ularning uchinchi tartibli determinantlari o’zaro teng bo’lib, (5) ga asosan (7) ning determinantI noldan farqlidir, demak, (6) ni ga nisbatan yechsak,

(8)

Hosil bo’lib, bunda

esa matritsa elementining adyunktidir, ya’ni algebraik to’ldiruvchisidir.

III Hol. Reperlar fazoda ixtiyoriy vaziyatda joylashgan. reper

berilgan bo’lib,shu sistemaga nisbatan reper elementlari quyidagicha bo’lsin:





(*)



dan ga o’tish uchun biz yana shunday uchinchi affin reperni qaraymizki, u ni vektor qadar parallel ko’chirishdan hosil bo’lsin.U holda fazodagi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalarini bu sistemaga nisbatan mos ravishda ; va deb belgilasak bilan orasidagi bog’lanish (8) ga asosan

(9)

bilan orasidagi bog’lanish (8) ga asosan

Buni (9) ga qo’ysak, izlayotgan quyidagi ifoda hosil qilinadi.

(10)

(10) ni ga ((*) shart o’rinli bo’lgani uchun) nisbatan ham yechish mumkin,demak, nuqtaning ga nisbatan koordinatalari ma’lum bo’lsa,shu nuqtaning koordinatalarining ga nisbatan ham topish mumkin.

Bir affin sistemadan ikkinchi affin sistemaga o’tish 12 ta parametrga bog’liqdir, chunki (10) ga shu almashtirishni aniqlaydigan ushbu 12 ta parametr kiradi: va bo’lsa,



ekanligini e’tiborga olsak,



(11) (12)

Demak, (10)dagi 12 ta parameter (11) va (12) dagi 6 ta shartni qanoatlantirishi kerak, u holda jami 6 ta ixtiyoriy parameter qoladi.”Algebra va sonlar nazariyasi” kursidan ma’lumki, (7) ko’rinishidagi kvadrat matritsaning elementlari (11) va (12) shartlarning barchasini qanoatlantirsa, bunday matritsa orthogonal matritsa deb ataladi.Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi: birdek artreperidan ikkinchi dekartreperiga o’tishmatritsasi original matritsadan iborat.

II BOB

2.1-mavzu:Tekislikda koordinatalar sistemasi haqida asosiy tushunchalar.

Tekislikda koordinatalar sistemasi deganda tekislik nuqtalarini raqamlar orqali ifodalash tushuniladi. Tekislikda koordinatalar sistemasini bir necha xil usulda aniqlash mumkin.Shulardan biri – dekart koordinatalari sistemasidir. Dekart koordinatalar sistemasi ikkita o’zaro perpendekulyar o’qlarning berilishi bilan harakterlanadi. Bunda perpendekulyar o’qlarning har birida musbat yo’nalish va birlik masshtab(o’lchov) aniqlanadi. Odatda gorizantal holatda joylashgan o’qni absissa o’qi deyilib, Ox orqali belgilanadi.Musbat yo’nalish sifatida chapdan o’ngga qabul qilingan. Vertikal holatda joylashgan o’qni esa ordinata o’qi deyilib, Oy orqali belgilnadi. Musbat yo’nalish sifatida pastdan yuqoriga qabul qilingan. Koordinata o’qlari kesishgan O nuqta koordinatalar boshi deyiladi. Masshtab birligi ikkala o’qda bir xil birlikda olinadi. Koordinata o’qlari tekislikni to’rtta chorakka bo’ladi. Koordinata o’qlaridagi birlik vektorlarni  va  kabi belgilash qabul qilingan. Dekart koordinatalar sistemasini Oxy orqali belgilash, koordinatalar sistemasi aniqlangan tekislikni koordinatalar tekisligi deb atash qabul qilingan.

Oxy tekisligida ixtiyoriy M nuqtani qaraylik.Bunda  vektor M nuqtaning radius-vektori deyiladi. M nuqtaning koordinatalari esa Oxy tekisligida  vektorning koordinatalari hisoblanadi. Agar  =(x;y) bo’lsa, u holda M nuqtaning koordinatalari M(x;y) kabi yoziladi.Bu yozuvda x soni nuqtaning absissasi, y soni esa ordinatasi hisoblanadi. Bu ikkimson nuqtaning tekislikdagi holatini to’la va bir qiymatli ifodalaydi. Boshqacha aytganda, tekislikdagi har bir nuqta ikkita son nuqtani belgilaydi.

Nuqtaning holatini sonlar orqali aniqlash koordinatalar usuli deb ataladi. Bu usulning mohiyati shundaki tekislikdagi har qanday chiziq o’zining tenglamasi orqali beriladi chiziqni o’rganish esa uning tenglamasi orqali amalga oshiriladi.

Boshqa bir muhim koordinatalar sistemasi qutb koordinatalar sistemasi deb ataladi. Qutb koordinatalar sistemasi qutb nuqtasi hisoblangan O nuqta, qutb o’qi deb atalgan Or o’q orqali beriladi. Tekislikda qutb nuqtasi O bilan ustma-ust tushmaydigan ixtiyoriy M nuqtani qaraylik. Bu nuqtaning tekislikdagi holatini ikki son; undan O nuqtagacha bo’lgan masofa (r) va OM kesma bilan Or o’q orasidagi burchak (α) to’la va bir qiymatli ifodalaydi. Bunda burchak soat yo’nalishiga qarama-qarshi olinadi. M(r;α) kabi belgilanadi. Tekislikdagi barcha nuqtalar qutb koordinatalarida ifodalash uchun burchakni –π<α≤π yoki(0<α<2π) oraliqlarida, qutb radiusini esa 0≤ r <+∞ oraliqda olish kerak. Shunda tekislikdagi har qanday nuqta (r;α) sonlar juftligi bilan aniqlanadi.

Endi shu ikkita koordinatalar sistemasi orasidagi aloqani aniqlaylik.

Shunda bir sistema aniqlangan nuqtani ikkinchisida ham aniqlash imkoniga ega bo’lamiz.Buning uchun qutb koordinatalar sistemasining koordinatalar sistemasining qutb nuqtasini dekart sistemasidagi koordinatalar boshiga, qutb o’qini esa Ox o’qi musbat yo’nalishida yo’naltiramiz.

Yuqorida aytganimizday M nuqtaning dekart koordinatalarini M(x;y) va qutb kordinatalarini M(r;x) orqali belgilaymiz. Agar nuqta qutb koordinatalarida berilgan bo’lsa  formulalar orqali dekart koordinatalarni, va aksincha dekart koordinatalarida berilgan bo’lsa formulalar orqali qutb koordinatalarini bir qiymatli aniqlashimiz mumkin.

Misol. Dekart koordinatalar sistemasida berilgan M(1; ) nuqtaning qutb koordinatalarini aniqlang.

Yechish.Buning uchun nuqtaning koordinatalarini

formulaga qo’yamiz: 

Demak, bu nuqtaning qutb koordinatalari

2. 
   Tekislikdagi koordinatalar usulining amaliy tadbig'i.
   

Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash. Oxy tekislikdagi va orasidagi masofani vektorning uzunlgi sifatida qarasak

formulaga ega bo'lamiz.

Tekislikda berilgan kesmani berilgan munosabatda bo'lish. Oxy tekislikdagi va nuqtalarni tutashtiruvchi AB kesmani berilgan λmunosabatda bo'lish. Boshqacha aytganda AB kesmani shunday M(x;y) nuqtaning koordinatalarini topish kerakki, munosabat bajarilsin.

Yechish: va vektorlarni belgilasak. Masala shartida  bo'lishi kerak. Oxirgi yozuvda vektorlarning koordinatalari orqali yozsak:

Munosabatlarga ega bo'lamiz.Vektorlar teng bo'lish shartini eslasak:

Oxirgi munosabatdan

tengliklarni hosil qilamiz. Bundan M nuqtaning koordinatalarini aniqlash uchun

va

formulalarga ega bo'lamiz.

ESLATMA! Tekislikda berilgan kesmani berilgan munosabatda bo'lish jarayonida quyidagi hollarga e'tibor bering.

λ =0 bu holda A va M nuqtalar ustma-ust tushadi.

λ =1 bu holda M nuqta AB kesmaning o'rtasini belgilaydi.

λ =-1 bu holda AB kesmaningo'zi nuqtaga aylanadi va masala mohiyati yo'qoladi.

λ=0 bu holda M nuqta AB kesma tashqarisida joylashgan bo'ladi.

2. 
   Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
   

Tekislikda nuqtaning o'rni koordinatalar sistemasiga nisbatan aniqlashi ma'lum. Agar koordinatalar sistemasi o'zgartirilsa, nuqtaning koordinatalari ham o'zgaradi, albatta. Agar biror to'g'ri chiziq yoki ikkinchi tartibli chiziq berilgan bo'lsa, uning tenglamasi biror sistemada qandaydir ko'rinishda berilgan bo'lsa, u holda bu tenglma boshqa sistemada, albatta, boshqacha ko'rinishda bo'ladi.Dekart koordinatalar sistemasi boshini va o'qlarining yo'nalishini o'zgartirish bilan chiziqnig bu sistemada yozilgan tenglamasini ba'zida sodda ko'rinishga keltirish mumkin bo'ladi.

Koordinatalar sistemasini o'zgartirishdagi quyidagi 3 hol yz berishi mumkin:

1. 
   Koordinatalar boshini tekislikning boshqa nuqtasiga ko'chirilgan va koordinata o'qlarining yo'nalishi o'zgarmagan hol;
   
2. 
   Koordinatalar boshi o'zgargan,ham koordinata o'qlari biror  burchakka burilgan hol;
   
3. 
   Ham koordinata boshi o'zgargan, ham koordinata o'qlarining yo'nalishi o'zgargan hol;
   

Bu hollarni alohida alohida ko'ramiz.

1. 
   Koordinatalarboshitekislikningboshqanuqtasigako'chirilganvakoordinatao'qlariningyo'nalishio'zgarmaganhol.ikkitaxOyva O . Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsin. Unda O , Ox// , Oy// (2-chizma). Ya'ni  sistemaning koordinatalar boshi  ning koordinatalari eski xOy sistemasiga nisbatan ( ) bo'lsin. Tekislikda biror M nuqtani olaylik: bu nuqtaning xOy sistemaga nisbatan koordinatalari (x,y) shu nuqtaning  sistemaga nisbatan koordinatalari ( ) bo'lsin. Bundan
   

Eski koordinatalar sistemasida

1-chizma

Munosabatniyozishimizmumkin. vektorlarning bu ifodalarini yuqoridagi tenglikka qo'yamiz.

yoki

Bu tenglikning ikki tomondagi  va  birlik vektorlarning koeffisientlarini mos ravishda tenglashtirib

formulani hosil qilamiz. Bu formulalar M nuqtaning eski va yangi koordinatalari orasidagi bog'lanishni aniqlaydi, ya'ni

2-chizma

b)koordinatalar boshi o'zgarmagan va koordinata o'qlari burchakka burilgan hol.

Endi koordinatalar boshini o'zgartirmay Ox va Oy o'qlarini  burchakka buraylik. Hosil bo'lgan yangi sistemani  O bilan belgilaymiz (2-chizma).

Endi tekislikda biror M nuqtaning xOy sistemadagi koordinatalari bilan yangi  O sistemadagi koordinatalari orasidagi bog'lanishni aniqlaymiz.

Shunga o'xshash,

munosabatlarga egamiz. Yuqoridagi topilgan qiymatlardan foydalanib,uzil-kesil

 (1)

Formulalarga ega bo'lamiz. (1) formula nuqtaning eski koordinatalarini uning yangi koordinatalari orqali ifoda etadi. Agar (1) tenglikni  , ga nisbatan tenglamalar sistemasi deb qarasak, u holda biz ushbu

 (2)

Formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalar nuqtanng yangi koordinatalarini uning eski koordinatalari orqali ifoda etadi.

2. 
   Ham koordinatalar boshi o'zgargan,ham koordinata o'qlarining yo'nalishlari o'zgargan hol. (1) va (2) formulalardan
   

 (3)

ni osonlik bilan hosil qilishimiz mumkin.Agar (3) tengliklarni  ga nisbatan tengliklar sistemasi deb qarab,uni  ga nisbatan yechsak,

 (4)

formulalar hosil bo'ladi. Odatda (1), (2) va (4) formulalarni koordinatalar sistemasini almashtirish formulalari deyiladi.

Endi Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulalaridan foydalanib uchburchak yuzini topaylik.

Uchlaridan biri koordinatalar boshida bo'lgan OAB uchburchak berilgan bo'lsin.

3-chizmadan ravshanki,

Bu yerda

Agar uchburchakning ikki uchi va nuqtalarda bo'lsin desak, u holda

bo'ladi. Shuning uchun

 formulaga ega bo'lamiz.

Aytaylik, uchburchakning uchlari va nuqtalarda bo'lsin. ning yuzini topamiz.

3-chizma. 4-chizma.

Biz koordinatalar boshini nuqtaga ko'chirib,kooordinata o'qlari eski o'qlarga parallel bo'lgan holdagi formulani e'tiborga olsak,

ifodaga ega bo'lamiz. Bu yerda

ekanligidan foydalanib, uzil-kesil

 (*)

formulani hosil qilamiz.

1-Misol. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan.

A(4,2), B(9,4) va C(7;6). Bu uchburchakning yuzi va peremetri topilsin.

Yechish. a) uchburchakning yuzini toppish uchun (*) formuladan foydalanamiz:

kv.birlik bo'ladi.

 uchburchakning peremetrini p ni hisoblaymiz.

Ikki nuqta orasidagi masofani toppish formulasiga asosan

Demak 2-misol. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirganda A(3,1) nuqta yangi (2,-1) koordinatalarga ega bo’ladi. Eski va yangi koordinata sistemalarini hamda A nuqtani yasang.

Yechish.Masala shartiga asosan: . Bu qiymatlarni (1) ga qo’ysak,

yoki

Demak, koordinatalar boshi O(1,2) nuqtaga ko’chirilgan (4-chizma).

5-chizma.

3-misol. Koordinata o’qlarining yo’naloshini ma’lum bir o’tkir burchakka burilganda A(1,4) nuqtaning yangi sistemadagi absissasi 4 ga teng. O’sha burchakni toping. Ikkala sistemani yasang.

Yechish. Masala shartiga asosan: x=4, y=4,  =4. Bu qiymatlarni (2) formulalarga qo’ysak,

 (A)

ga ega bo’lamiz. Bu sistemaning ikkala tenglamasining har ikkala tomonini kvadratga ko’tarib qo’shsak,

yoki

qiymatni qaraymiz. Bu qiymatni (A) ning birinchi tenglamasiga qo’ysak:

Yoki

Bu ifodani ikkala tomonini kvadratga ko'taramiz,

Bundan;

qiymat masala shartni qanoatlantirmaydi.

(5-chizma).

4-misol. Koordinatalar boshini ko’chirib, ushbu

tenglamani soddalashtiring. Eski va yangi koordinata sistemalarini yasang.

Yechish. Koordinatalar boshini ixtiyoriy  ( ) nuqtaga ko’chiramiz. O’tish formulalarini ya’ni, x= , y= ni berilgan tenglamadagi x va y ning o’rniga qo’yib topamiz:

Endi qavslarni ochib va o'xshash hadlarni ixchamlab ushbu tenglikka ega bo'lamiz:

Endi ixtiyoriy bo'lganligidan, uchlarni shunday tanlab olamizki, hadlar yo'qoladigan bo'lsin. Ya'ni

yoki

Demak, O(3,1) (ya'ni koordinatalar boshi) ekanlaigini hisobga olsak, berilgan tenglama yangi sistemada ushbu ko'rinishga keladi;

Bu egri chiziq 7-chizmada tasvirlangan bo'lin, u ellipsdan iborat.