Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

23.3-teorema. 

Ikkita erkli A va V hodisaning birgalikda ro`y bershi ehtimoli shu 

hodisalarning ehtimollari ko`paytmasiga teng:

 

R(AV)=R(A)

⋅

R(V).

 

Isbot. 

Shartga ko`ra 

A 

va 

V 

erkli hodisalar. Tajriba natijasida 

p 

ta elementar hodisaga ega 

bo`laylik. Bulardan 

n

1

 tasi 

A 

hodisaga qulaylik tug`dirsin. 

 

Tajriba natijasida 

t 

ta elementar hodisaga ega bo`laylik. Bulardan 

t

1

 

tasi 

V 

hodisaga qulaylik 

tug`dirsin. 

Ravshanki, 

( )

( )

m

m

B

Р

n

n

А

Р

1

1

,

=

=

                                                    (23.7) 

Tajribalar natijasida ro`y beradigan barcha elementar hodisalar soni 

pt 

ta bo`ladi.   Bulardan 

p

1

t

1

 

tasi  

A  

va 

V 

hodisalarning birgalikda ro`y berishiga qulaylik tug`diradi. 

Demak, 

( )

nm

m

n

АВ

Р

1

1

=

 

bo`ladi. Bundan esa, yuqoridagi (23.7) munosabatni e`tiborga olib, 

(

)

( ) ( )

В

Р

А

Р

m

m

n

n

В

А

Р

⋅

=

⋅

=

⋅

1

1

 

bo`lishini topamiz. 

22.2-natija.  

A

1

, A

2

, …

, 

A

p  

birgalikda bog`liq bulmagan hodisalar bo`lsin. U holda 

R(A

1

, A

2

, …

, 

A

p

)= R(A

1

)R(A

2

)…R(A

p

)

 

bo`ladi 

---

 

8

Misol.

 Ikki yashikning har birida 10 tadan detal` bor. Birinchi yashikda 8 ta, ikkinchi 

yashikda 7 ta standart detal` bor. Har bir yashikdan tavakkaliga bittadan detal` olinadi. Olingan ikkala 

detalning standart bo`lish ehtimoli topilsin. 

echish.

 Birinchi yashikdan olingan detal` standart detal` bo`lishi hodisasini 

A,   

ikkinchi 

yashikdan olingani standart detal` bo`lishi hodisasini 

V 

deylik. Unda 

R(A)=

10

8

=

0,8,  

R(V)=

10

7

=

 0,7 

bo`ladi. Ravshanki, olingan ikkala detalning standart detal` bo`lishi hodisasi esa 

AV 

hodisa bo`ladi. 

A,

 

V 

birgalikda bo`lmagan hodisalardir. Shuning uchun 22.3 - teoremaga ko`ra 

R(AV)

=

R(A)

⋅

R(V)

 

bo`ladi. Demak, 

R(AV)=R(A)

⋅

R(V)

=0,8

⋅

0,7=0,56 

bo`ladi. 

Bog`lik hodisalar ehtimollarini ko`paytirish teoremasini keltirishdan avval hodisaning shartli ehtimoli 

tushunchasi bilan tanishamiz. 

Biror 

A 

hodisa berilgan bo`lsin. Odatda bu hodisa ma`lum shartlar majmui S bajarilganda ro`y 

beradi. Agar 

A 

hodisaning ehtimoli 

R(A)

 ni hisoblaganda S shartlar majmuidan boshqa hech qanday shart 

talab qilinmasa, bunday ehtimol 

shartsiz 

ehtimol deyiladi. Ko`p hollarda 

A 

hodisaning extimolini biror 

V 

hodisa (

R (V)>0

) ro`y bergan degan shartda hisoblashga to`g`ri keladi. 

A 

hodisaning bunday ehtimoli 

shartli ehtimol 

deyiladi va 

R(A/V) 

kabi belgilanadi. 

Misol.

 Tangani 3 marta tashlash tajribasini qaraylik. Tajriba natijasida ro`y beradigan elementar 

hodisalar to`plami quyidagicha bo`ladi: 

Ω

 = {GGG, GGR, GRG, RGG, RRR, RRG, RGR, GRR}. 

Bu to`plam 8 ta elementdan iboratdir. 

Tanganing gerbli tomoni faqat bir marta tushish hodisasi 

A 

va kamida bir marta gerbli tomoni 

tushish hodisasi 

V 

bo`lsa, u holda extimolning klassik ta`rifiga asosan: 

R(A)=

8

3

,  R(V)=

8

7

 

bo`ladi. 

R(A/V) 

shartli ehtimol esa 

R(A/V)

=

7

3

 

ga teng bo`ladi. 

Endi bog`liq hodisalar ehtimollarini ko`paytirish teoremasinn keltiramiz. 

23.4-teorema.

 

Ikkita bog`liq hodisaning birgalikda ro`y berish ehtimoli ulardan birining 

ehtimolini shu hodisa ro`y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisaning shartli eqtimoliga 

ko`paytmasiga teng:

 

R(AV)=R(A)R(V/A).

 

Misol.

 Yashikda 5 ta oq, 4 ta qora shar bor. Yashikdan qaytarib joyiga qo`ymasdan, bittalab 

shar olish tajribasi o`tkazilayotgan bo`lsin. Birinchi galda oq shar,   ikkinchi galda qora shar chiqishi ehtimoli 

topilsin. 

echish.

 Birinchi galda oq shar chiqish hodisasini 

A, 

ikkinchi galda qora shar   chiqish 

hodisasini 

V 

deb olaylik. Bu hodisalar bog`liq hodisalar bo`ladi. Hodisa ehtimoli ta`rifiga ko`ra 

R(A) = 

5/9. 

Birinchi galda oq shar chiqqan holda, ikkinchi galda qora shar chiqishi ehtimoli (shartli ehtimoli)  

R(V/A) = 

4/9  bo`ladi. 

Ravshanki, birinchn galda oq shar, ikkinchi galda qora shar chiqishi hodisasi 

A -

 

V 

bo`ladi. Bu 

hodisaning ehtimolini yuqorida keltirilgan teoremadan foydalanib topamiz: 

R(AV)=R(A)R(V/A) 

= 

81

20

9

4

9

5

=

⋅

. 

23.2-eslatma.

 Agar 

A, V, S 

bog`liq hodisalar bo`lsa, u holda  

R(AVS) =

 

R(A)R(V/A)R(S/AV)

 

munosabatning o`rinli bo`lishini ko`rsatish mumkin. 

---

 

9

Umuman, 

A

1

, A

2

, …

, 

A

p

 

bog`liq hodisalar uchun quyidagi formula urinli

 

bo`ladi: 

R(A

1

A

2 

…A

p

)=

 R(A

1

)

R(A

2

/A

1

)

R(A

3

/A

1

A

2

)…

R(A

n

/ A

1

A

2 

…A

p-1

). 

 

4-§. To`la ehtimol formulasi. 

Bayes formulasi 

Biror 

A 

hodisa 

p 

ta juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan 

N

1

, N

2

, ..., 

N

p

 

hodisalarning 

(gipotezalarning) bittasi va faqat bittasi bilangina ro`y berishi

 

mumkin bo`lsin. Demak, birinchidan 

A=AN

1 

+ AN

2

, + ... + 

AN

p

 

ikkinchidan esa 

(

)

j

i

V

АН

АН

j

i

≠

=

∩

 

bo`ladi. 

Ehtimollarni qo`shish teoremasidan foydalanib topamiz: 

R(A) = R(AN

1 

+ AN

2

, + ... + 

AN

p

) = R(AN

1 

)+R(AN

2

)

 + ... + 

R(AN

p

).

 

Agar 

R(AN

1 

) = R(N

1 

)R(A/N

1 

), 

R(AN

2

) =

 

R(N

2

)R(A/N

2

),

 

………………………. 

R(AN

p

) = R(N

p

)R(A/N

p

)

 

bo`lishini e`tiborga olsak, u holda ushbu tenglikka kelamiz:  

R(A)=R(N

1

)R(A/N

1

) + R(N

2

)R(A/N

2

) 

+…+ 

R(N

p

)R(A/N

p

) 

=

( ) (

)

∑

=

n

k

k

k

H

A

P

H

P

1

/

. 

Demak, 

( )

( ) (

)

∑

=

=

n

k

n

n

H

A

P

H

P

A

P

1

/

.                                      (23.10) 

Odatda (23.10) formula 

to`la ehtimol formulasi 

deb ataladi. 

To`la ehtimol formulasidan murakkab hodisalarning ehtimollarini hisoblashda foydalaniladi. 

Misol.

 Omborga 360 ta mahsulot keltirildi. Bulardan: 

300 tasi bir korxonada tayyorlangan bo`lib, 250 tasi yaroqli mahsulot,  

40 tasi 2-korxonada tayyorlangan bo`lib, 30 tasi yaroqli mahsulot, 

20 tasi 3-korxonada tayyorlangan bo`lib, 10 tasi yaroqli mahsulot.  

Ombordan tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli bo`lish ehtimoli topilsin. 

echish.

 Tavakkaliga olingan mahsulot uchun quyidagi gipotezalar o`rinli bo`ladi: 

N

1

 

— mahsulotning 1-korxonada tayyorlangan bo`lishi,  

N

2

 

— mahsulotning 2-korxonada tayyorlangan bo`lishi,  

N

3  

— mahsulotning 3-korxonada tayyorlangan bo`lishi.  

Ularning ehtimollari mos ravishda quyidagicha bo`ladi: 

( )

( )

( )

.

18

1

360

20

;

9

1

360

40

;

6

5

360

300

3

2

1

=

=

=

=

=

=

H

P

H

P

H

P

 

Agar olingan mahsulotning yarokli bo`lishini 

A 

hodisa deb belgilasak, u holda bu hodisaning turli 

gipotezalar shartlari ostidagi ehtimollari quyidagicha bo`ladi: 

(

)

(

)

(

)

.

2

1

/

;

4

3

/

;

6

5

/

3

2

1

=

=

=

H

A

P

H

A

P

H

A

P

 

Yuqorida topilganlarni to`la ehtimol formulasi (23.10) ga qo`yamiz:  

( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

.

36

29

2

1

18

1

4

3

9

1

6

5

6

5

/

/

/

3

3

2

2

1

1

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

+

+

=

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

A

P

 

---

 

10

Aytaylik, birgalikda bo`lmagan 

N

1

, N

2

, …, 

N

p

 

hodisalarning to`la gruppasi berilgan bo`lib, 

tajribani o`tkazishga qadar ularning har birining 

( )

i

H

P

, 

n

i

,

1

=

 

ehtimollari tayin qiymatga ega 

bo`lsin. Tajriba natijasida 

A 

hodisa ro`y berdi degan shart ostida 

i

H

 

(

)

n

i

,

1

=

 hodisalarning 

ehtimollari tajribadan so`ng qanday bo`lishligi kuyidagicha topiladi: 

i

H

 

va 

A 

hodisalarning ko`paytmasi 

uchun ushbu 

(

)

( ) (

)

( ) (

)

i

i

i

i

H

A

P

H

P

A

H

P

A

P

AH

P

/

/

=

=

 

formuladan 

(

)

( ) (

)

( )

A

P

H

A

P

H

P

A

H

P

i

i

i

/

/

=

 

munosabatga ega bo`lamiz. Bu munosabatga to`la ehtimol formulasini qo`llanib, quyidagini topamiz: 

(

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

∑

=

=

+

+

=

n

i

i

i

i

i

n

n

i

i

i

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

A

H

P

1

1

1

/

/

/

...

/

/

/

 

Bu formula