Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

N

N

N

P

N

X

M

N

X

→∞

=

=

∑

∑

−

>

=

1

1

0

1

1

α

α

α

α

δ

                     (9) 

buladi. 

Isbot. (2) ni eslasak, (9) ifodadagi extimolni kuyidagi kurinishda ezish mumkin. 

R(|X

N

-MX

N

|>

δ

). Bu ifoda Chebishev tengsizligiga asosan 

1

2

δ

D X

N

(

)  kichik eki teng buladi. 

D X

D

N

X

N

D X

N

N C

C

N

N

N

N

(

)

(

)

(

)

=

=

≤

⋅ ⋅ =

=

=

∑

∑

1

1

1

1

2

2

1

α

α

α

α

 buladi. Ya`ni  

                                     

D X

С

N

N

(

)

=

              (10) 

Buni biz dispersiyaning xossalaridan foydalanib yuzaga keltirdik. (bular: uzgarmas 

kupaytuvchini kvadratga kutarib dispersiya belgisidan tashkariga chikarish mumkin va juft -juft uzaro 

boglik bulmagan tasodifiy mikdorlar yigindisining dispersiyasi dispersiyalar yigindisiga teng degan 

xossalar) 

Shunday kilib, 

P

N

X

N

MX

P X

MX

D X

C

N

N

N

N

N

N

(|

|

)

(|

|)

)

(

)

1

1

1

1

1

2

2

α

α

α

α

δ

δ

δ

δ

−

>

=

−

>

≤

≤

=

=

∑

∑

     (11) 

buladi (11) da  N

→∞

 limitga utsak (9) yuzaga keladi. 

 

Chebishev teoremasi xam isbot buldi. 

Bu teoremadan shunday natijaga erishish mumkin. 

Natija. X biror matematik kutilish M(X)=a, chekli dispersiya D(X)=

σ

2

 ega bulsa va X

1

,X

2

,...,X

N

,  shu 

tasodifiy mikdor ustida utkazilgan N ta uzaro boglik bulmagan kuzatishlar natijalari bulsa, unda 

istalgan kichik 

δ

>0 uchun  lim (|

|

)

N

N

P X

a

→∞

− <

=

δ

1  buladi. 

 

Bu demak tekshirishlar soni N kancha katta bulsa 1 teng extimol bilan tasdiklash mumkin, X 

N 

va M(X)=a farki istalgancha kichik, ya`ni X

N

≈

a olish mumkin. 

---

 

28

 

Bernulli teoremasi. Agar A xodisaning yuzaga kelish extimoli R(A)=r, M A xodisa ustida 

utkazilgan N uzaro boglik bulmagan tekshirishlar natijasida A ni yuzaga kelish soni bulsa, unda 

xarkanday 

δ>

 0 uchun:  lim (|

|

)

N

P

M

N

p

→∞

− >

=

δ

0 buladi. 

X

inchin teoremasi. Faraz etaylik M(X)=a |a|<

∞

, X

n

  X-ni uzaro boglik bulmagan kuzatishlar natijasida 

xosil bulgan tasodifiy mikdorlar  lim (|

|

)

N

n

P

Х

a

→∞

− >

=

δ

0  buladi. 

 

Xarakteristik funktsiyalar xakida tushuncha. 

 

Xarakteristik funktsiyalarning asosiy xossalari. Markaziy limit teorema. 

Faraz kilaylik, X va U tasodifiy uzgaruvchilar bulsin. Z=X+iY -ni kompleks tasodifiy 

uzgaruvchi deyiladi, bu erda i-mavxumlik birligi bulib i=

−

1

, i

2

=-1 a+ib=Mx+iMy. Z-ning 

matematik kutilmasi MZ=a+ib buladi. Z

1

  va Z

2

 kompleks tasodifiy uzgaruvchilarning kupaytmasi Z

1

⋅

 

Z

2

=(x

i

x

2

-u

i

u

2

)+i(x

1

x

2

-u

2

u

1

), agar  

   

Z

1

= x

1

+ i u

1

 va Z

2

= x

2

+ i u

2 

bulsalar. 

 

Matematik kutilishning xakikiy tasodifiy uzgaruvchilar uchun urinli bulgan xossalari kompleks 

sonli tasodifiy uzgaruvchilar uchun urinli bulib koladi. Masalan Z

k

 (k=1,2,...,n) kompleks sonli 

tasodifiy uzgaruvchilar bulsa M(Z

1

+Z

2

+...+Z

n

)= M(Z

1

)+M(Z

2

)+...+M(Z

n

) va M(SZ)=SMZ buladi va 

undan tashkari: 

1. 

 

Agar X

1

,X

2

,...,X

n 

erkli tasodifiy uzgaruvchilar. f

1

,f

2

,...,f

n

- kompleks taosdifiy uzgaruvchilarni 

ifodalovchi funktsiyalari bulsa, 

                    M f

1

(x

1

),f

2

(x

2

),,...,f

k

(x

n

)            (1) 

buladi, agar |M f

k

(x

n

)|<

∞

      1

≤

k

≤

n urinli bulsa. 

2. Agar M|Z|<

∞

 bulsa, |MZ|

≤

 M|Z|  (2)   buladi. 

Ta`rif. X xakikiy tasodifiy uzgaruvchi bulsa, uning xarakteristik funktsiyasi deb Z =e

itX

 

(i=

−

1

 va -

∞

∞

 xakikiy parametr) kompleks tasodifiy uzgaruvchining matematik kutilmasiga 

ataladi, uni 

ϕ

x

(t) bilan belgilasak: 

                         

ϕ

x

(t)= MZ= M e

itX

                (3) 

Masalan 1) agar X- diskret xakikiy tasodifiy uzgaruvchi bulib, 

 

Taksimot konuniga ega bulsa, uning xarakteristik funktsiyasi 

                         

ϕ

x

(t)=

k

n

=

∑

1

 e

itX

R

k

                (4) 

buladi. 

2) 

Agar X uzluksiz tasodifiy uzgaruvchi bulib f(x) -

∞

∞

 dagi zichlik funktsiyasi bulsa, unda 

                       

ϕ

x

(t)=

e f x dx

itX

( )

−∞

∞

∫

                     (5) 

buladi. 

X tasodifiy uzgaruvchining xarakteristik funktsiyasi 

ϕ

x

(t), t=0 , 

ϕ

x

(0)=1 va |

ϕ

x

(t)|

≤

1 barcha  -

∞

∞

  uchun buladi. 

ϕ

x

(t) t ning 

(-

∞

,

∞

) dagi   kiymatlari uchun  tekis uzliksiz funktsiya. 

Agar Z, r-nchi tartibli momentga ega bulsa, ya`ni M|X|

r

 - mavjud bulsa, unda  

ϕ

x

(t), r-nchi 

tartibli xosilaga ega va 

                       

ϕ

(r)

x

(0)=2

r

M(X

r

)                       (6) 

buladi. 

Agar X

1

,X

2

,...,X

n

 -erkli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa unda 

      

ϕ

 

х

х

х

n

1

2

+ + +

...

(t)= 

ϕ

х

1

(t)

 

ϕ

х

2

(t)

...

ϕ

 

х

n

(t)         (7) 

buladi. 

Ya`ni  

ϕ

x

t dt

( )

,

< ∞

−∞

∞

∫

mavjud va f(x) X ning zichlik funktsiyasi bulsa 

---

 

29

                             f(x)=

1

2

2

π

ϕ

e

t dt

tx

x

−

−∞

∞

∫

( )

                        (8) 

buladi. 

 

                     12-§. Kup ulchovli tasodifiy mikdorlar 

Kup xollarda utkazilaetgan tajribaning natijasi bizni kiziktiraetgan tasodifiy eki tasodifiy 

jaraenning bir nechta xarakteristikasini bir vaktning uzida ulchashdan xosil bulgan sonli sistemadan 

iborat bulishi mumkin. Bunday tajribalarni kup ulchovli tajribalar deb ataymiz. 

 

Faraz kilaylik (

Ω,Γ,Ρ

) extimollik fazosida n -ta 

ξ

1

,

ξ

2

,...,

ξ

n

  tasodifiy mikdorlar berilgan bulsin. 

 Kuyidagi 

ξ

(w)= (

ξ

1

(w),

ξ

2

(w),...,

ξ

n

(w))  tasodifiy mikdorlar sistemasiga n ulchovli tasodifiy 

mikdor eki tasodifiy vektor deb ataladi. 

 

Agar n ulchovli tasodifiy vektorning barcha mumkin bulgan kiymatlar soxasini 

Ω

ξ ξ ξ

1

2

,

,...,

n

 deb 

belgilasak, u xolda uning xar kanday ixtieriy kism tuplami A

⊂Ω

ξ ξ ξ

1

2

,

,...,

n

ning barcha kism 

tuplamlaridan tashkil topgan tuplam G

ξ ξ ξ

1

2

,

,...,

n

σ

-algebra deyiladi va G

ξ ξ ξ

1

2

,

,...,

n

da xodisa extimoli deb 

ataluvchi tushuncha kiritiladi. 

 

Yukorida aytilgan fikrlarni n -ulchovli tasodifiy  mikdorlarning eng soddasi bulishi ikki 

ulchovli (

ξ

1

,

ξ

2

) tasodifiy mikdor uchun eritaylik. 

 

Ωξ ξ

1

2

,

- ikki ulchovli tasodifiy vektorning mumkin bulgan kiymatlar soxasi. 

 

G

ξ ξ

1

2

,

- {

ξ

1

1

∩ξ

2

2

} kurinishdagi tasodifiy xodisalar 

σ

- algebrasi. 

 Ixtieriy 

A

⊂Ωξ ξ

1

2

,

,A

∈Γξ ξ

1

2

,

 

uchun uning extimoli deb ataluvchi tushuncha kuyidagicha 

kiritiladi. 

 

R

ξ ξ

1

2

,

(A)=R({W(

ξ

1

(W)

∩ξ

2

(w)

∈

A}) 

 

Natijada ixtieriy A

∈

G

ξ ξ

1

2

,

 

uchun Kolmogorov aksiomalarini kanoatlantiruvchi manfiy 

bulmagan R

ξ ξ

1

2

,

(A) son mos kuyiladi. Xosil bulgan uchlik (

Ωξ ξ

1

2

,

,G

ξ ξ

1

2

,

,R

ξ ξ

1

2

,

) ikki ulchovli 

tasodifiy mikdorning extimollik fazosi deyiladi. 

 

Misol. Agar ukka tutilaetgan joyni tekis soxa deb karalsa, snaryadning tushish nuktasi ikki 

ulchovli tasodifiy mikdorga misol bula oladi. Mikroskop ostida kuzatilaetgan tekis broun xarakatida 

zarrachaning vaktning belgilangan momentidagi xolati ikki ulchovli tasodifiy mikdordir. 

 Karalaetgan 

tekislikda 

koordinatalar sistemasini kiritib, ikki ulchovli tasodifiy mikdorning 

kiymati bulgan xar bir nuktani ikkita son - uning koordinatalari bilan xarakterlay olamiz. Uz navbatida 

xar bir koordinata odatdagi (bir ulchovli) tasodifiy mikdor buladi. Shuning uchun ikki ulchovli 

tasodifiy mikdorni ikkita bir ulchovli tasodifiy mikdor sistemasi deb karash mumkin. 

 

Ikki ulchovli tasodifiy mikdorning taksimot 

 funktsiyasi va uning xossalari 

 Ta`rif. 

Ikki 

ulchovli tasodifiy mikdor (

ξ,η

) ning taksimot funktsiyasi kuyidagi (

ξ

∩η

xodisaning sodir bulish extimoliga aytiladi, ya`ni 

   F(x,y)=P{(

ξ

∩η

 

Geometrik nuktai nazardan ikki ulchovli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasi tasodifiy 

(

ξ

,

η

) nuktaning uchining koordinatalari (x,u) bulgan kvadratining chapi va pastida etish extimoliga 

aytiladi. 

 

F(x,y) funktsiya kuyidagi xossalarga ega: 

1. 0

≤

F(x,y)

≤

1       x,y

∈Ω

ξ

,

η

 

2. 

 

F(x,y) taksimot funktsiya xar bir argumenti buyicha kamaymaydigan funktsiya, ya`ni 

x

2

>x

1

 uchun  F(x

2

,y)

≥

 F(x

1

,y) 

u

2

>u

1

 uchun F(x,y

2

)

≥

 F(x,y

1

) 

  F(

−∞,

y)=limF(x,y)=0; F(x,

−∞

)=limF(x,y)=0 

  

F(

−∞,−∞

)=limF(x,y)=0; F(+

∞,

+

∞

)=limF(x,y)=1 

Agar F(x,u) funktsiyaning argumentlaridan biri +

∞

 ga intilsa, u xolda F(

⋅⋅

) funktsiya ikkiligi 

argumentga tegishli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasiga aylanadi: 

---

 

30

 limF(x,y)= 

F(+

∞,

y)=F

2

(y); 

 limF(x,y)= 

F(x,+

∞

)=F

1

(x); 

F

1

(x) va F

2

(y) lar mos ravishda 

ξ

 va 

η

 tasodifiy mikdorlarning taksimot funktsiyalari 

5. 

 

F(x,y) funktsiya xar bir argumenti buyicha chapdan uzluksiz 

Natija. (

ξ

,

η

) tasodifiy nuktaning AVSD tugri turtburchakka tushish extimoli kuyidagicha: 

R{(x

1

≤ξ<

x

2

)

∩

(y

1

≤η<

y

2

)}=F(x

2

,y

2

)- -F(x

1

,y

2

)- F(x

2

,y

1

)+ F(x

1

,y

1

) 

Chekli sondagi eki cheksiz ketma- ketlik xosil kiluvchi xar xil kiymatlar kabul kiluvchi ikki 

ulchovli tasodifiy mikdor diskret tasodifiy mikdor deyiladi. 

Ikki ulchovli diskret tasodifiy mikdorni tula xarakterlash uchun  mumkin bulgan kiymatlar 

tuplamini va xar bir kiymatning extimolini (taksimot konunini) kursatish kifoya. 

Ta`rif. Ikki ulchovli diskret tasodifiy mikdor (

ξ

,

η

) ning taksimot konuni deb shu tasodifiy 

mikdorning kabul kilishi mumkin bulgan barcha kiymatlari (x

i

,u

i

) bilan, xar bir kiymatni k0abul kilish 

extimollari 

R(x

i

,u

i

)=R{(

ξ

=x

i 

)

∩

(

η

=y

j

)}=p

ij

 ni berilishiga aytiladi. 

Taksimot konuni kuyidagicha: 

 

      

ξ

 

η

 

x

1

 

X

2

 ... 

x

i

 ... 

x

n

 

∑

 

 

u

1

 P(x

1

,y

1

) P(x

2

,y

1

) ... P(x

i

,y

1

) ... P(x

n

,y

1

) P(y

1

) 

u

2

 P(x

1

,y

2

) P(x

2

,y

2

) ... P(x

i

,y

2

) ... P(x

n

,y

2

) P(y

2

) 

... 

... ... ... 

... ... 

...  ... 

u

j

 P(x

1

,y

j

) P(x

2

,y

j

) ... 

P(x

i

,y

j

) ... P(x

n

,y

j

) P(y

j

) 

... 

... ... ... 

... ... 

...  ... 

 y

m

 P(x

1

,y

m

) P(x

2

,y

m

) ... P(x

i

,y

m

) ... P(x

n

,y

m

) P(y

m

) 

... P(x

1

) P(x

2

) ... 

P(x

i

) ... 

P(x

n

) 1 

 

jadval erdamida tasvirlash mumkin. Bu erda gorizontal buylab ikki ulchovli tasodifiy mikdorning 

abstsissalari kabul kilish mumkin bulgan kiymatlar vertikal buylab esa ordinatalarining kiymatlari 

ezilgan. Jadvalning kataklariga ikki ulchovli tasodifiy mikdorning tekislikning berilgan nuktasiga 

tushishiga mos tegishli extimoli ezilgan. Agar ikki ulchovli tasodifiy mikdor (

ξ

,

η

) ni yukorida 

kursatilganidek ikkita bir ulchovli 

ξ

,

η

 tasodifiy mikdorlar tuplami deb karasak, u xolda R(x

i

,u

j

)  

extimol  (

ξ

= x

i

) va (

η

=u

j

) xodisalarning birgalikda yuz berish extimolidir. 

Jadvaldan kurinib turibdiki, R(x

i

,u

j

) extimollar jadvaliga ega bulgan xolda 

ξ

 tasodifiy  

mikdorning 

η

 tasodifiy mikdor kanday kiymat kabul kilishdan kat`i nazar x

i

 kiymatini kabul kilish 

extimolini topish mumkin. 

    R(x

i

)=P(

ξ

= x

i

)=P(x

i

,y

1

)+P(x

i

,y

2

)+...+P(x

i

,y

j

)+...+=

P x y

i

j

j

( ,

)

∑

=P

i

 

Shunday kilib P(

ξ

= x

i

) ni topish uchun jadvalning i-ustunidagi P(x

i

,y

j

) extimollarni kushish 

lozim ekan. Xuddi shu yul bilan 

η

 tasodifiy mikdorning u

i

 kiymatni kabul kilish (

η

=u

j

) xodisasini 

extimolini j-satrdagi extimollarni kushish bilan xosil kilinadi.  

 R(u

i

)=P(

η

= u

j

)=

P x y

i

j

i

( ,

)

∑

=P

i 

 

14-§.   Matemtik statistikaning asosiy masalalari 

Biz mazkur kitobning XXIII — XXV boblarida tasodifiy hodisa, tasodifiy hodisaning 

ehtimoli,

 

tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari, tasodifiy miqdorning taqsimot 

qonuni,

 

taqsimot funktsiyasi hamda ehtimol zichligi (differentsial funktsiyasi

) 

kabi tushunchalar

 

bilan tanishdik, Bu tushunchalar

 

asosida amaliyotda uchraydigan xayotiy masalalarni echishni 

o`rgandik.

 

Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor va uning taqsimot 

funktsiyasi tushunchalaridir. Bizga ma`lumki, tasodifiy miqdorlar o`zlarining taqsimot funktsiyasi

 

bilan to`la aniqlanadi. Tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasini

 

bilgan holda biz u miqdor bilan 

---

 

31

bog`langan jarayonni to`la o`rganish imkoniyatiga

 

ega bo`lamiz. Ammo amaliyotda

 

bizni 

qiziqtirayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi noma`lum yoki taqsimot funktsiyaning 

ko`rinishi ma`lum, uning parametrlari noma`lum bo`ladi.

 

Bunday hollarda tasodifiy miqdorning 

taqsimot funktsiyasini yoki uning

 

ayrim sonli xarakteristikalarini (taqriban) baholash zaruriyati 

tug`iladi. Bu kabi masalalarni oliy matematikaning bo`limlaridan

 

biri—matematik statistika fani 

tajriba (kuzatish) yordamida tahlil

 

qilish yo`li bilan

 

o`rganadi. 

Umumiy qilib aytganda, matematik statistikada statistik ma`lumotlar va bu ma`lumotlarni 

tahlil qilish bilan ilmiy va amaliy xulosalar chiqarishning matematik usullari o`rganiladi. Shunday 

kilib, matematik statistika quyidagi ikki asosiy vazifani hal qiladi: 

1.

 

Barcha statistik ma`lumotlarni to`plash, lozim bo`lsa, guruhlash. 

2.

 

To`plangan ma`lumotlarni maqsadga muvofiq qilib tahlil qilish. 

15-§. Tanlanma usul 

Aytaylik,

 

biror korxona katta sonda mahsulot ishlab chiqargan bo`lib, bu mahsulotni

 

sifat yoki 

son belgilari bo`yicha tekshirilishi talab etilsin.

 

Ishlab chiqarilgan mahsulotning soni juda ko`p, 

binobarin, ularning har birini aytilgan belgi bo`yicha tekshirish qiyin bo`ladi.

 

Bunday holda 

quyidagicha ish tutiladi: barcha mahsulotlardan tavakkal qilib ma`lum sondagisi olinadi, ularni 

tekshirib, korxonaning barcha mahsulotlari  to`g`risida  xulosa  chiqariladi. Tekshirishning 

bunday usuli 

tanlanma usul 

deyiladi. Quyida bu usulni batafsilroq o`rganamiz. 

O`rganilishi lozim bo`lgan barcha ob`ektlar to`plami 

bosh to`plam deb 

ataladi. 

Bosh to`plamdan tasodifiy ravishda tanlab olingan ob`ektlar to`plami 

tanlanma to`plam 

yoki,

 

kisqacha, 

tanlanma 

deb ataladi. Bunday to`plamdagi ob`ektlar soni shu to`plamning

 

hajmi 

deb ataladi. Bosh to`plamning hajmi N, tanlanma to`plamning hajmi 

p 

bilan belgilanadi. 

Masalan, korxonada ishlab chikarilgan 10000 mahsulotdan 100 tasi tekshirish uchun 

olingan bo`lsa, u holda bosh to`plamning hajmi 

N = 10000

, tanlanma to`plamning hajmi esa 

p

 

= 

100 bo`ladi. 

Bosh to`plamday tekshirish uchun tavakkaliga bitta element, keyin ikkinchi element ajratib 

olinadi va shu jarayonni davom ettirib, so`ng ajratib olingan elementlardan tanlanma tuziladi. 

Agar tanlanma elementlarini bosh to`plamga qaytarmasdan, uning elementlari bosh to`plamdan 

ajratilsa, bunday tanlanma 

takrormas tanlanma 

deb ataladi. 

Agar tanlanmaning elementlari (bosh to`plamdan tanlangan elementni yana) bosh to`plamga 

qaytarish yo`li bilan ajratilsa, bunday tanlanma 

takror tanlanma 

deb ataladi. 

Modomiki, masala bosh to`plam elementlarining son yoki sifat belgisi to`g`risida kerakli 

ma`lumotlarni bilishdan iborat ekan, undan o`rganish uchun ajratilgan tanlanma (uning elementlari) 

vakolatli bo`lishi lozim. Ya`ni tanlanma to`plam bosh to`plamdan shunday ajratilishi lozimki,

 

natijada ajratilgan tanlanma to`plam bosh to`plamni to`la xarakterlaydigan, boshkacha aytganda 

bosh tuplamning

 

muhim xususiyatlarini o`zida saqlagan bo`lishi kerak. Buni odatda tanlanmaning 

reprezentativligi 

deyiladi.

 

Statistik taqsimotning grafigini bilish uning xarakterini yaqqolroq tasavvur etishda qo`l 

keladi. Biz quyida taqsimot grafigini yasash usullaridan poligon va gistogrammani yasashni 

keltiramiz. 

Hajmi 

p 

bo`lg`ap tanlanma statistik taqsimot bilan berilgan bo`lsin: 

 

x 

x

1

 

x

2

 

… 

x

k

 

n 

p

1

 

p

2

 

… 

p

k

 

W

W

1

 

W

2

 

… 

W

k

 

 

bu erda 

x

i

 

— variantalar, 

p

i 

— mos chastotalar;  

W

i

 — mos nisbiy chastotalar, 

k

i

,

1

=

. 

(x

1

, p

1

), (x

2

, p

2

), …

, 

(x

k

, p

k

) 

nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq tekislikda 

chactotalar 

poligoni 

deb ataladi. 

(

x

1

, W

1

), (

x

2

, W

2

), …, 

(x

k

, W

k

)  

nuqtalarni tutashtiruvchi  siniq chiziq 

nisbiy chastotalar 

poligoni 

deb ataladi. 

---

 

32

Bu chiziqlarning grafiklarini yasash uchun variantalar qiymatlari abstsissalar o`qiga, 

chastotalar qiymatlari ordinatalar o`qiga ko`yiladi. 

Statistik taqsimotning gistogrammasini yasash uchun avval barcha kuzatilgan qiymatlarni 

uzunligi 

h 

bo`lgan ketma-ket qismiy intervallarga (guruhlarga) bo`linadi va har bir intervalga 

tushgan variantalarning chastotalari topiladi. 

Asoslari 

h  

uzunlikdagi intervallar, balandliklari 

h

n

i

 nisbatga teng bo`lgan to`g`ri 

to`rtburchaklardan iborat pog`onaviy figura 

chastotolar gistogrammasi 

deb ataladi. Bu erda 

h

n

i

 

nisbat 

chastota  zichligi 

deyiladi. 

Asoslari 

h 

uzunlikdagi intervallar, balandliklari 

h

W

i

 nisbatga teng bo`lgan to`g`ri 

to`rtburchaklardan iborat pog`onaviy figura 

nisbiy chastotalar gistogrammasi 

deb aytiladi. 

Chastotalar gistogrammasiniig yuzi tanlanma hajmi 

p 

ga, nisbiy chastotalar 

gistogrammasining yuzi esa birga teng bo`ladi. 

1-misol.

 Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo`yicha chastotalar poligoiini yasang: 

1) 

 

 

 

2) 

 

 

echish. 

1) 

abstsissalar o`qida 2, 3, 

5, 6 sonlarini, ordinatalar o`qida esa ularga mos 10, 15, 5, 20 sonlarini belgilaymiz, ya`ni 

koordinatalari (2; 10), (3; 15),

 

(5; 5), (6; 20) bo`lgan nuqtalarni yasab, ularni siniq chiziqlar bilan 

tutashtiramiz (149-chizmaga karang). 

2) Yuqoridagi misol  kabi echiladi. 

2-misol.

 Jo`xori  donidan  100  dona  olindi   va  ularning  har birini tortib ko`rib, 

quyidagi statistik taqsimot olindi: 

 

Jo`xori og`irliklari 

0,1 - 0,3  0,3 - 0,5  0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 

Jo`xorilar soni 

18 

52 

18 

12 

Shu taqsimotning gistogrammasini tuzing. 

echish. 

Intervallar uzunligi 

h

=0,2 ga teng bo`lgani uchun to`g`ri to`rtburchak 

balandliklarining nisbati mos ravishda quyidagicha bo`ladi: 

.

60

;

260

;

90

2

,

0

18

3

2

1

=

=

=

=

h

n

h

n

n

n

 

Intervallarni abstsissalar o`qida, balandliklarini ordinatalar o`qida qo`yib pog`onaviy to`g`ri 

to`rtburchaklar hosil qilamiz (150-chizmaga qarang). 

3-misol.

 Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo`yicha nisbiy chastotalar 

gistogrammasini yasang. Bu erda 

p 

= 20. 

 

Intervallar 

Chastotalar yig`indisi

x

i

 

2 

3 

5 

6 

p

i

 

10 

15 

5 

20 

x

i

 

12 

17 

22 

16 

30 

34 

38 

p

i

 

2 

5 

9 

12 

8 

8 

4 

---

 

33

10—15  

15—20  

20—25  

25—30  

30-35 

2  

4  

8  

4  

2 

 

echish. 

Nisbiy chastotalarni topamiz:   

1

,

0

;

2

,

0

;

4

,

0

;

2

,

0

20

4

;

1

,

0

20

2

5

4

3

2

1

=

=

=

=

=

=

=

W

W

W

W

W

. 

Nisbiy chastotalar zichligini topamiz: 

.

02

,

0

;

04

,

0

;

08

,

0

;

04

,

0

;

02

,

0

5

1

,

0

5

4

3

2

1

=

=

=

=

=

=

h

W

h

W

h

W

h

W

h

W

 

Abstsissalar o`qida berilgan qismiy intervallarni belgilaymiz. Nisbiy chastotalar zichliklarini 

ordinatalar o`qida belgilaymiz va har bir interval ustida kesmalar o`tkazamiz, masalan, (10, 15) 

interval ustida abstsissalar o`qiga parallel va undan 0,02 masofada yotadigan kesma o`tkazamiz va 

hokazo . 

 

16-