Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

 

7- §. Puasson teoremasi 

Biz yuqorida o`rgangan Bernulli sxemasida 

p 

ta erkli tajribada 

A 

hodisaning 

k 

marta ro`y 

berishi ehtimoli Bernulli formulasi bilan hisoblanishini ko`rdik. Bernulli formulasini keltirib chiqarishda 

A 

hodisaning har bir tajribada ro`y berish ehtimoli o`zgarmas va u 

r 

ga teng bo`lsin deb olindi (0 < r < 

1].

 

Ko`pgina masalalarda hodisaning ro`y berish ehtimoli 

r 

tajribalar soni 

p 

ga bog`liq bo`lib, 

p 

ning 

ortib borishi bilan 

r 

ning kamayib borishiga bog`langan bo`ladi. Bunday holda Bernulli sxemasi uchun 

kuyidagi teorema o`rinli bo`ladi.

 

23.6-teorema. (Puasson teoremasi). 

Agar Bernulli sxemasida n

→∞

 da 

r

→

 0 

va 

pr

→λ

  (

λ

>0) 

bo`lsa, u holda 

n

→∞

 da ushbu munosabat o`rinli bo`ladi:

 

( )

λ

λ

−

→

e

k

k

Р

k

n

!

  yoki  

( )

.

!

λ

λ

−

≈

e

k

k

Р

k

n

                                 (23.16)

 

Bu taqribiy formulani Puasson formulasi deyiladi.

 

Isbot.

 Ma`lumki, 

p 

ta o`zaro erkli tajribada 

A 

hodisaning 

k 

marta ro`y berish ehtimoli 

( )

(

)

k

n

k

k

n

n

р

р

C

k

Р

−

−

=

1

 bo`ladi, bunda 

(

)

!

!

!

k

n

k

n

С

k

n

−

=

. Keyingi tenglikni quyidagicha yozib  olamiz: 

---

 

18

(

)

(

)(

)

(

)

(

) (

)

.

1

1

...

2

1

1

1

!

!

1

1

...

2

1

1

1

!

1

...

1

...

3

2

1

!

...

1

...

3

2

1

!

!

!













−

−











 −











 −

=













−

−











 −











 −

⋅

=

=

+

−

−

=

−

⋅

⋅

+

−

−

⋅

⋅

=

−

=

n

k

n

n

k

n

k

n

k

n

n

n

n

n

n

k

k

n

n

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

С

k

k

n

 

Bu tenglikdan esa 













−

−











 −











 −

=

n

k

n

n

С

n

k

k

n

k

1

1

...

2

1

1

1

!

                                      (23.17)

 

bo`lishi kelib chiqadi. 

Endi 

(

)

1

,

1

1

0

≥

≤

≤

≤

≤

n

n

k

a

k

 sonlar uchun o`rinli bo`lgan ushbu 

(

)(

) (

)

(

)

n

n

a

a

a

a

a

a

+

+

+

−

≥

−

−

−

...

1

1

...

1

1

2

1

2

1

 

sodda tengsizlikdan foydalanib topamiz. 

.

1

...

2

1

1

1

1

...

2

1

1

1













−

+

+

+

−

≥













−

−











 −











 −

n

k

n

n

n

k

n

n

 

Ravshanki, 

(

)

(

)

(

)

(

)

.

2

1

2

1

1

1

...

2

1

1

1

...

2

1

n

k

k

k

k

n

k

n

n

k

n

n

−

=

−

=

−

+

+

+

=

−

+

+

+

 

Demak, 

(

)

.

2

1

1

1

1

...

2

1

1

1

n

k

k

n

k

n

n

−

−

≥













−

−











 −











 −

                                   (23.18)

 

Natijada (23.17), (23.18) munosabatlardan 

(

)

n

k

k

С

n

k

k

n

k

2

1

1

!

−

−

≥

 

bo`lishi kelib chiqadi. Agar 

1

!

≤

k

n

k

С

n

k

 ekanligini e`tiborga olsak, u holda 

(

)

1

!

2

1

1

≤

≤

−

−

k

n

k

С

n

k

n

k

k

 

bo`lishini, ya`ni  

(

)

!

2

1

1

!

k

n

С

n

k

k

k

n

k

k

n

k

≤

≤













−

−

 

bo`lishini topamiz.  Bu tengsizlikni 

(

)

k

n

k

p

p

−

−

1

 

ga ko`paytirsak, unda quyidagi tengsizliklar 

hosil bo`ladi: 

(

)

(

)

(

)

(

)

.

1

!

1

1

!

2

1

1

k

n

k

k

k

n

k

k

n

k

n

k

k

p

р

k

n

p

р

С

p

р

k

n

n

k

k

−

−

−

−

≤

−

≤

−













−

−

 

Demak 

(

)

(

)

( )

(

)

.

1

!

1

!

2

1

1

k

n

k

k

n

k

n

k

k

p

р

k

n

k

P

p

р

k

n

n

k

k

−

−

−

≤

≤

−













−

−

                   (23.19)

 

Endi shu tengsizlikda qatnashuvchi 

(

)

k

n

k

k

p

p

k

n

−

−

1

!

 ifodani quyidagicha

 

yozamiz: 

(

)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.

1

1

!

1

1

!

1

1

!

1

!

np

np

n

k

k

n

k

k

n

k

k

k

n

k

k

n

np

p

k

np

n

np

p

k

np

p

p

k

np

p

p

k

n

−

−

−

−

−

−































 −

−

=











 −

−

=

=

−

−

=

−

 

---

 

19

 Agar 

n

→∞

 da 

pr

→λ

,  

(

)

(

)

(

)

0

1

1

,

1

2

1

1

→

→

−

→

−

−

−

p

p

n

k

k

k

 

va

 

( ) ( )

λ

λ

−

−

−

−

→































 −

−

e

k

n

np

p

k

np

k

np

np

n

k

k

!

1

1

!

 

bo`lishini e`tiborga olsak, unda (23.19) munosabatdan 

( )

(

)

λ

λ

−

−

→

−

=

e

k

р

р

C

k

Р

k

k

n

k

k

n

n

!

1

 

bo`lishini topamiz. Teorema isbotlandi. 

Puasson formulasi tajribalar soni etarlicha katta bo`lib, har bir tajribada