«oliy matematika» fanining «differensial tenglamalar»

Lagranj tenglamasi

Lagranj tenglamasi deb

y=x ( )+( ) (3.9)

ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi.

Bu tenglama ham parametr kiritish bilan sodda integrallanadi:
= deb,
y=x()+()
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani x ga nisbatan differensiallab
(3.10)
Hosil bo’lgan tenglama x() va dx/d ga nisbatan chiziqli tenglamadir. Uni yechib F(x, ,c)=0 ni hosil qilamiz. Demak, Lagranj tenglamasini yechimi

parametrik ko’rinishda bo’ladi.
(3.10) tenglamani hosil qilishda deb qaralgan edi. Demak, bunda =const yechimlar, agar ular mavjud bo’lsa, yo’qotilgan edi. =const bo’lsa, u holda (3.10_­1) tenglama faqat , bo’lganda bajariladi.
Demak, agar tenglama haqiqiy r=r_i ildizlarga ega bo’lsa, yuqoridagi yechimlarga yana
y=x ()+(), =_i

yechimlarni ham qo’shish kerak bo’ladi.

Klero tenglamasi

-()0 bo’lsin. d/dx ga bo’lishdan =с, с=const yechimlar yo’qotilgan bo’ladi. Bu holda ( )= bo’lib, (3.9) tenglama

y=x +( ) (3.11)
ko’rinishiga keladi va bu tenglama- Klero tenglamasi deyiladi.
Bu teglamani yechish uchun = deb belgilash kiritamiz.
Natijada y=x+() ni hosil qilamiz.
Bu tenglamani x bo’yicha differensiallab
=+xd/dx+’()d/dx
yoki

tenglamani hosil qilamiz. Bundan d/dx=0, demak =C yoki x+’()=0.
=с da yechimdan
y=Cx+(c)
ikkinchi holda esa yechim

ko’rinishda bo’ladi.

Nazorat savollari

1. To’la differensial tenglama deb qanday differensial

tenglamalarga aytiladi?
2. Integrallovchi ku’paytuvchi deb kanday funksiyaga aytiladi?
3. Xosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar,
umumiy ko’rinishi.
4. Xosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar,
xususiy xollari.
5. Lagranj tenglamasi.
6. Klero tenglamasi.