Olimpiada masalalari

Joylashtirish

Avvalambor matematikaning, aniqrog‘i to‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalarini esga olaylik.

Birinchidan, to‘plamning o‘zi nima? To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalari bo‘lib u quyidagicha ta’riflanadi.

To‘plam deganda, umumiy xususiyat bo‘yicha birlashtirilgan obyektlarning majmuasi tushuniladi.

Bunga misol tariqasida sinfdagi stullar va stollar to‘plamini, natural, butun, ratsional va haqiqiy sonlar to‘plamini keltirishimiz mumkin.

To‘plamga kiruvchi obyektlarni biz element deb ataymiz.
5 soni natural sonlar to‘plamining elementi. Stol sinfdagi stollar to‘plamining elementi. Odatda to‘plamlar lotin alifbosining katta harflari: A, B, C, D, ..., X, Y, Z, ularning elementlari esa kichik harflari a, b, c, d, ..., x, y, z bilan belgilanadi.
a A to‘plamining elementi ekan degan tushuncha a A to‘pamga tegishli deb aytishadi.
Odatda to‘plam elementlari figurali qavs ichida yoziladi:

Bizga elementlari berilgan A to‘plam va B = {a₁, a₂, a₃, a₄} to‘plam berilgan bo‘lsin.
E’tibor bergan bo‘lsangiz, B to‘plamning har bir elementi A to‘palmning ham elementidir. Bu holda B A to‘plamning qism to‘plamidir.

Eslatma. Agar B to‘plamning har bir elementi ayni paytda A to‘plamning ham elementi bo‘lsa, u holda B A to‘plamning qism to‘plami deyiladi.

Ko‘pincha bizga nafaqat to‘plamning elementini, balki ularning to‘plamdagi joylashish tartibini ham bilish muhim bo‘ladi.

Agar elementlarning to‘plamdagi joylashish tartibi hisobga olinsa, u holda bir xil elemetlarga ega bo‘lgan, ammo ularning joylashish o‘rni har xil bo‘lgan to‘plamlar biz uchun har xil deb olinadi.
Masalan: Z = {z₁, z₂, z₃, z₄ } va B = {z₂, z₁, z₃, z₄} lar har xil hisoblanadi, zero ulardagi elementlarning joylashish tartibi har xil.

Elementlarning kelish tartibi berilgan to‘plamlar tartiblangan to‘plamlar deb ataladi.

Ayrim misollarni ko‘rib chiqaylik.
147-misol. Sinfda 12 ta fan o‘tiladi. Kuniga 5 ta har xil fan o‘tiladi. Dars jadvali necha usul bilan tuzilishi mumkin?
Fikrlash jarayonini soddalashtirish uchun o‘quv fanlarini 1 dan 12 gacha bo‘lgan sonlar bilan belgilaymiz:
1, 2, 3, 4, 5, ..., 10, 11, 12.
Masalaning shartiga ko‘ra, bizga ushbu 12 ta sondan 5 tasini tanlashimiz kerak. Jumladan 5 ta sondan iborat bo‘lgan bu to‘plamlar nafaqat soni bilan, balki sonlarning joylashishi bilan ham farqlanishi mumkin, masalan, to‘plamlarning biri {1, 2, 3, 4, 5} bo‘ladi; huddi shu sonlarning o‘rnini almashtirish orqali hosil qilingan {2, 1, 3, 4, 5} to‘plam ham, masalaning shartini qanoatlantiradi.
Haqiqatda, birinchi to‘plam quyidagi fanlardan tashkil topgan bo‘lsin: {algebra, fizika, kimyo, tarix, adabiyot}; u holda atigi 2 ta fanning o‘rnini almashtirish orqali hosil qilingan to‘plam yangi dars jadvalini beradi: {fizika, algebra, kimyo, tarix, adabiyot}.
Shunday qilib, 5 ta sondan iborat bo‘lgan to‘plamlar nafaqat sonlar bilan, balki ularning joylashish tartibi bilan ham farqlanishi mumkin.
Bunday qism to‘plamlar kombinatorikada joylashtirish deb ataladi.