Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

3. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial tenglamalar
1.
4
(
) (3
2 )
y
x
x
y
c



. 
2. 
3
3
3
2
(
)
y
x
y
c


. 
3.
2
(
1)
3
y
c x
x



.
4. 
2
2
2
1
2
2
3
2
5
exp
2arctg
2
3
(
)
y
x
y
x
y
c
x




  


.
5.
2
2
2
2
(
) (
)
y
x
y
x
c



. 
m
y
z

almashtirish bajaring. 
6.
2
ln| |
arctg(
1)
x
x y
c

 
. 
m
y
z

almashtirish bajaring. 
7.
2
2
5
1
y
x
x
 


. 
8. 
4
2
1
3
y
x
x

 
.
9.
1/
2
/
arcsin(
),
sin(2 / )
x
y
x
ae
a
e



 

. 
10.
3
y
x

. 
4. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 
1.
2
(
)
x
y
x
c e


. 
2.
1
ln| |
(
)
y
x
x
c
x

 
. 
3.
2
2
1
1
4
3
y
cx
x
x



.
4.
cos
x
y
y
cy


. 
( )
x
x y

ni qarang. 
5.
2
3
ln
1
x
c
y
x
x



. 
6.
sin
cos
cos
x
e
x
y
c
x
dx
x



. 
7.
4
y
y
x
e
ce


. 
( )
x
x y

ni qarang. 
8.
2
1
(
1)
x
x
x
ce
x
y
e e
 


. 
9.
2
2
1
ln
0
2
x
x
cx
y



, 
0
y

. Bernulli tenglamasi. 
10.
cos
,
0
3sin
x
y
y
x
c



. Bernulli tenglamasi. 
11. 
6
3
7
6
x
y
x


. 
12. 
2
3
3
2
1
x
y
x


. 
13.
3
3
3
3
3
ln
3
2
0
y
x y
y
x y
x




. 
( )
x
x y

, Bernulli tenglamasi. 
14.
3 2
y
x
x


. 
2
u
y

almashtirish bajaring. 
15.
y

4
4
3
(
)
x
c
y
x x
c



. 
1
1
y
x


xususiy yechim. 
16.
7
7
10 (
)
5
2
x
x
x
e e
c
y
e
c



. 
1
2
x
y
e


xususiy yechim. 
17.
3cos
3cos
sin
x
x
e
y
x
e
dx
c






. 
1
sin
y
x


xususiy yechim. 
5. To‘la differensialli va unga keltiriluvchi tenglamalar
1.
4
4
2
y
xy
x
x
c




. 
2.
sin
y
xy
x
c

 
.
 
Toʻla differensialli tenglama, 
( )
x
x y

ga nisbatan chiziqli. 
Quyidagicha yechish qulay:
cos
0,
ydx dx
xdy
y dy





(
)
(sin )
0,
d xy
dx
d
y



(
sin )
0
d xy
x
y
 

.

---

293 
3.
2
y
x
e
xy
e
c

 
.
4.
3
2
ln
y
x
y
x
c

 
.
5.
2
ln
y
y
y
xy
x
c
 


.Toʻla differensialli tenglama, 
( )
x
x y

ga nisbatan chiziqli.
6.
2
2
cos
xy
y
x
c



. Toʻla differensialli tenglama, 
( )
x
x y

ga nisbatan chiziqli.
7.
2
ln(
)
y
e
y
xy
x
c



. 
8.
sin
y
xe
y
c


. Toʻla differensialli tenglama, 
( )
x
x y

ga 
nisbatan chiziqli.
9.
4
8 ln
4
y
y
x
x
c



. 
10.
2
2
x
y
x
y
c
 


.
11.
cos(2 )
4sin(
)
x
x
y
c



.
12.
4
1
ln
,
0;
x
y
c
x x
y


 


.
13.
2
2
3
,
0;
x y
x
cy y
y


 


.
14.
1
ln| |
,
0;
x
x
ye
y
c y
y e








.
15.
2
2
1
;
x
cx
y
x y
e






.
16.
ln(1
) ln(
)
x
x
x
e y
e y
c






; 
x
e



.
17.
2
2
2
(
)
x
xe
c y
x
y



;


2
2
1
x x
y




. 
18.
2
2
1
(
1) ln
;
x
x
y
y
y
c
y
y

 

 

. 
19.
2
2
2
1
;
y
x
y
c
x
y
x y

  

. 
20.
2
2
2
2
(
1)
2(
1)sin
;
1
x
x
y
c t
x






. 
21.
1
2
ln
ln
2
;
y
x
cy
x y




 

.
22.
2
2
xy
x
y
c



; 
2
2
1 2
/
(
)
x
y




. 
23.
2
3
ln
x
y
x
y
c



; 
1
y



. 
24.
3
3
3
(3
)
x y
x
y
c


; 
2
(
)
xy


.
25. 
Qismlarga ajrating, 
3
3
4 3
/
(
)
x
y




.
26. 
2
(2
)
x
y



 
. 
6. Birinchi tartibli normal ko‘rinishdagi differensial tenglama 
1.
1
T
da – yoʻq, 
2
T
da – ha.
4. 
Misol 4 ning yechilishiga qarang.
10.
Misol 5 ning yechilishiga qarang. 
7. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar. 
Maxsus yechimlar 
1.
2
2
,
4
c
y
cx
y
x




maxsus yechim. 
2.
3
2
3
, 27
4
y
cx c
y
x




maxsus 
yechim. 
3.
2
,
x
y
x
c y
x
c

 

va 
3
y
x
 

maxsus yechimlar (
0
x

da). 
4.
2
2
4
2
,
8
0
x
cy
c
y
x



 
maxsus yechim.
5.
2
y
x
ce
c


, 
2
4
0
y
x e

 
maxsus yechim.
6.
(2 ln )ln
,
ln
,
2
p
p
x
c
y
cp
p









maxsus yechim yo‘q. 
7.
1 ln 2
2
ln(
),
2
2
x
x
c
c
y
y




 

maxsus yechim. 
8.
2
2
1
tg
,
tg
4
y
c x c
y
x




maxsus yechim.
9.
2
1
c
y
cx
c



, 
2/3
2/3
1
x
y

 
maxsus yechim. 
10.
2
3
27(
)
4(
) ,
1
y
c
x c
y
x



  
maxsus yechim. 

---

294 
11.
3
2
3 1
2
,
9
y
c x
c
y
x


 
 
maxsus yechimlar (
2
z
y

almashtirish bajaring). 
12.
2
2
2 (
) ,
0
y
c x
c
y



va 
4
8
/
y
x


maxsus yechimlar. 
8. Aralash tenglamalar 
1. 
(1 4
)
(
1)
x
x
ce y
ce x



.
 2. 
(
2 )
/
y
x
c
x


.
 3. 
2
2
4ln
y
x
x
c



.
 4. 
4
2
6
x y
x
c


. 
5. 
2
(1
)ln
x
x
y
c
 

 (
ln
u
y

)
. 
6. 
3
2 (
3 )
/
y
cx
x


.
7. 




2
2
2
4 3
y
x
c
cx



. 
8. 
2
(
1)
y
x
yc


. 
9. 
2
2
3
0,
0
x
y
cy
y




.
10. 
4
4 ln
(
0)
y
x
y
c x



. 
11. 
Cheksiz ko‘p yechim
 
3
2
y
x
cx


.
12. 


4 /3
2/3
8
4
3
x
e
y
x
c



.
 13. 
2
2
y
y
x
cx
 

 (
2
1
/
x


)
.
14. 


2
2/3
exp 2
3 2
1
(
)
/
x
y
c
 
.
 15. 
2
(ln
ln )
y
y
x
c


16. 
3
2
3
0
y
xy
c

 
.
17. 
sin
(
1)
x
y
x
e c
 
. 
18. 
2
3
2
2
y
x
x c
 
.