О природе минералов 1 Введение

3.8 Трансляционные элементы
симметрии и пространственные
группы
В разд. 3.3.2 отмечалось, что проявляемая кри-
сталлом внешняя симметрия есть выражение сим-
метрии пространственного расположения атомов
в пределах элементарной ячейки. Как мы уже ви-
дели, тип решетки, какой бы она ни была — при-
митивной, объемно- или гранецентрированной, —
не может быть определен с помощью внешней сим-
метрии. Существуют такие элементы симметрии,
как винтовые оси и плоскости скользящего отра-
жения, которые включают в себя поворот или от-
ражение с последующей трансляцией, но внешне
проявляются только как оси поворота или плоско-
сти зеркального отражения.
3.8.1 Винтовые оси
Действие
 винтовой оси
заключается в повороте и
последующей трансляции (переносе) параллельно
направлению этой оси. Винтовая ось симметрии 2
1
поворачивает объект на 180° и затем смещает его
на половину размера ячейки, повторяя параллель-
но самому себе. При повторении этой операции
предмет возвращается обратно в исходное поло-
жение, а поскольку он подвергся смещению, то по-
вторяется на расстоянии размера целой ячейки от
начальной точки. Но, по определению, все элемен-
тарные ячейки идентичны, так что фактически
этот процесс можно рассматривать как возвраще-
ние предмета в его исходное положение. Действие
двойной оси симметрии и винтовой оси 2
1
показа-
но на рис. 3.38.
Кроме того, существуют тройные, четверные
и шестерные винтовые оси, которые также вклю-
чают в себя поворот с последующей трансляци-
Рис. 3.38 Операции двойной оси симметрии и
винтовой оси 2
1
.
ей. Однако у симметрии с большим числом пово-
ротов возможно существование нескольких транс-
ляций. Для винтовой оси расстояние, на котором
предмет повторяется при смещении, обозначается
подстрочным индексом
 t.
Так, например, тройная
винтовая ось 3
1
включает в себя поворот на 120°,
за которым следует повторяющееся смещение на
1/3 ячейки, а у тройной винтовой оси 32 имеет-
ся поворот на 120° и последующее смещение на
2/3 ячейки. В обоих случаях после полного пово-
рота на 360° предмет возвращается в свое исход-
ное положение, но смещается на расстояние одной
или двух элементарных ячеек (рис. 3.39). В дей-
ствительности, винтовая ось 3
1
осуществляет по-
ворот вправо, а винтовая ось 3
2
— влево (см. разд.
3.9). Действие четверной и шестерной винтовых
осей аналогично описанному выше, и они также
бывают правосторонними (4
1
, 6
1
и 6
2
), левосто-
ронними (4
3
, 6
4
и 6
5
) или нейтральными (4
2
и 6
3
)
четверными и шестерными винтовыми осями. С
точки зрения внешней морфологии эти винтовые
оси проявляются как простые поворотные. Одна-
ко при исследовании внутренней симметрии рент-
геновскими дифракционными методами (гл. 4) на-
личие винтовых осей устанавливается по система-
тическому отсутствию отражений от некоторых
плоскостей.
Символы, используемые для обозначения вин-
товых осей, приведены в табл. 3.4.

---

Таблица 3.4 Операторы симметрии в кристаллографии
3.8.2 Плоскости скользящего отражения
Плоскость скользящего отражения является эле-
ментом симметрии, действие которого состоит в
отражении предмета с последующим смещени-
ем его на половину размера элементарной ячей-
ки. Этот процесс показан на рис. 3.40. Плоско-
сти скользящего отражения обозначаются в со-
ответствии с кристаллографическим направлени-
ем, которому параллелен смещающийся компо-
нент. Например, плоскость скользящего отраже-
ния
α
включает в себя отражение с последующим
скольжением параллельно
 а
, а плоскости скользя-
щего отражения b осуществляют трансляцию па-
раллельно b, в то время как плоскости скользяще-
го отражения
 с
— параллельно
 с.
Имеются также
плоскости скользящего отражения, которые осу-
ществляют трансляции на половину повторяюще-
гося расстояния параллельно двум осям. Такие
диагональные плоскости обозначаются как плос-

---

Рис. 3.39 Операции тройной оси симметрии и винтовых осей 3
1
и 3
2
.
Рис. 3.40 Операции плоскостей зеркального и сколь-
зящего отражения.
Рис. 3.41 Операции плоскостей скользящего отраже-
ния
 b
и
 n
, перпендикулярных
 a
(см. табл. 3.4).

---

кости скользящего отражения п. Возможно суще-
ствование плоскостей скользящего отражения
η
со
смещением
 а/2 + b / 2 , а/2 + с/2
или
 b/2 + с/2
(рис.
3.41). Последняя группа плоскостей представлена
алмазными плоскостями
скользящего отражения
d,
которые подобны плоскостям n, но смещение
у них составляет четверть повторяющегося рас-
стояния ячейки в двух направлениях, например
а/4
 + b/4
3.8.3 Действие элементов симметрии
Мы уже видели, как можно графически изобра-
зить элементы внешней симметрии с использо-
ванием стереографической проекции, на которую
наносятся грани какой-либо простой формы. Мор-
фологическую симметрию кристалла можно так-
же легко установить путем его осмотра или изме-
рения углов между гранями. В пределах кристал-
лической структуры группы атомов связаны друг
с другом элементами симметрии, и при описании
структуры кристаллов положения атомов указы-
ваются в дробных значениях координат по трем
кристаллографическим осям. Например, если ко-
ординаты атома заданы как 0,324; 0,456; 0,124,
то он расположен в точке
 0,324a, 0,456b; 0,124с
.
Мы можем записать эти координаты в общем ви-
де, обозначив их
 х, у, z,
где x—дробная коорди-
ната вдоль а
 y
— вдоль
 b
и
 z
— вдоль
 c.
Элемен-
ты симметрии определяют положение всех осталь-
ных атомов, расположенных относительно исход-
ных симметрически (кристаллографически) экви-
валентно в элементарной ячейке.
На рис. 3.42 показано действие ряда элементов
симметрии при основном положении x, у, z.
.
3.8.4 Пространственные группы
Мы видели, как внешнюю симметрию кристал-
лов можно описать одним из 32 классов симме-
трии, или точечных групп (разд. 3.7). При опи-
сании внутренней симметрии кристаллов выявля-
ется 230 различных комбинаций элементов сим-
метрии и типов решетки, т.е. имеется 230 про-
странственных групп. Пространственные группы
были выведены в 90-х годах XIX в. совершенно не-
зависимо тремя учеными: E. С. Федоровым (1853-
1919) в Москве, А.Шенфлисом (1853-1928) в Гет-
тингене и У. Барлоу (1845-1934) в Лондоне. Сле-
дует отметить также, что хотя пространственные
группы симметрии являются фундаментальным
понятием при описании кристаллических струк-
тур, они были выведены за 20 лет до открытия
дифракции рентгеновских лучей.
В этой книге мы не будем подробно описывать
пространственные группы симметрии. Однако ни-
же будут кратко рассмотрены система используе-
мых обозначений и процедура описания кристал-
лических структур. 230 пространственных групп
детально представлены в Международных табли-
цах по кристаллографии
 (International Tables for
Crystallography).
Пространственные группы подразделяются на
семь кристаллографических систем — сингоний и
в пределах каждой сингоний — на точечные груп-
пы. В символе пространственной группы первым
указывается тип решетки:
 P
(примитивная),
 С
(базоцентрированная),
 I
(объемноцентрирован-
ная),
 F
(гранецентрированная — все грани цен-
трированы) или
 R
(ромбоэдрическая). Затем в
символе обозначаются операторы для групп сим-
метрии, которые указывают ее существенные эле-
менты.
Операторы симметрии представлены следую-
щими элементами:
1 (симметрия отсутствует)
т
(плоскость зеркального отражения)
a, b, с, n
и
 d
(плоскости скользящего отражения)
2, 3, 4, и 6 (поворотные оси)
3, 4 и 6 (инверсионные оси)
1 (центр симметрии)
2
1