Nyuton binomi Paskal uchburchagi haqida umumiy ma’lumotlar

MAVZU:
Takrorli kombinatsiyalar. Fibbonachi sonlari. Bo’laklashlar kombinatorikasi. Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi
Reja:

1. 
   Paskal uchburchagi
   
2. 
   Fibonachchi sonlari
   
3. 
   Takrorli kombinatsiyalar
   
4. 
   Nyuton binomi
   

Paskal uchburchagi haqida umumiy ma’lumotlar. Berilgan ta elementdan tadan gruppalashlar soni uchun bir necha qatorlarni 1- jadvaldagidek yozamiz:
1- jadval

	Gruppalashlar soni ( )
1	,
2	, ,
3	, , ,
4	, , , ,
5	, , , , ,
…	………………………………………………………….

Bu jadvalda gruppalashlar sonining quyidagi xossalarini kuzatish mumkin:

• 
  har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan (bu tasdiq formula bilan ifodalanadi, ushbu bobning 2- paragrafiga qarang);
  
• 
  har bir qatordagi sonlar qatorning teng o‘rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan, ya’ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan sonlar o‘zaro teng ( );
  
• 
  ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa undan chapda joylashgan ikkita gruppalashlar sonining yig‘indisiga teng ( );
  
• 
  har bir qatordagi sonlar shu qator teng o‘rtasigacha o‘sib, so‘ng kamayadi (3.3 band, 5- xossaga qarang).
  

Ta’rif sifatida deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning raqamli qatoridan oldin raqamli qatori sifatida joylashtirilsa, uchburchak figurasiga o‘xshash 1- shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin.
1
1- shakl
- shakldagi sonlar jadvali Paskal uchburchagi deb ataladi. Bu jadval arifmetik uchburchak nomi bilan ham yuritiladi. Uning Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy¹ XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, berilgan ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan bo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi² butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalana bilganligi haqida ma’lumotlar bor. Keyinchalik G‘arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi haqida M. Shtifel³ arifmetika bo‘yicha qo‘llanmalarida yozgan va u ham butun sondan istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya⁴, keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U. Otred⁵ (1631 yil) ham shug‘ullanganlar. 1654 yilga kelib B. Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon qildi.
Paskal uchburchagidagi qatorlar istalgancha davom ettirilishi mumkin. Shunisi qiziqki, Paskal uchburchagi yordamida istalgan ta elementdan tadan gruppalashlar sonini faqat qo‘shish amali yordamida hosil qilish mumkin