Norova Dilnoza Xolto’rayevna

Ta’rif 1.3. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo’lgan ko’phad nol ko’phad deyiladi.
Mazkur ta’rifga asosan kamida bitta koeffitsiyenti noldan farqli ko’phad nolmas ko’phad deb ataladi.
Faraz qilaylik n-darajali f(x) ko’phad bilan birgalikda

(x)  b  b x  b x²  ....  b x^s

(1.3)

0 1 2 s
ko’phad ham berilgan bo’lsin, bunday holda ikkita f(x) va ^ (x) ko’phadning yig’indisi deb ,

f (x)  (x)
𝑙


 C_ x^
 0

ko’phadni tushinamiz . bu yerda t= max(n.s),
C_  a_
 b_
bo’lib t>s bo’lganda

^bs1
 ...  b_t  0

deb, t>n da esa

^an1
 ...  a_t  0

deb olinadi. Yana shuni

^{ta’kidlaymizki a}0 ^,
b_  R 
a_  b_  R

va yig’indi ko’phadning darajasi

qo’shiluvchi ko’phadlar darajasidan katta emas, haqiqatdan agar

a_n  b_n

bo’lsa,

yig’ndining darajasi qo’shiluvchi ko’phadlar darajasidan hatto kichik ham bo’lishi mumkin.
Ko’phadlar to’plamida ayirish amali o’rinli. Bu to’plamda nol element sifatida nol ko’phad qaraladi.
f(x) ko’phad uchun qarama-qarshi element

-f(x)=- ^a₀

• 
  a₁ x  a₂
  

x²  ...  a xⁿ

dan iborat.

n
Endi xa=ax tenglik bajariladi deb qarab ikkita f(x) va ^ (x) ko’phadning ko’paytmasi
tushunchasini kiritamiz. Ikkita f(x) va ^ (x) ko’phad ko’paytmasi deganda koeffitsiyentlari

d_ 
ns


a_k b_l
k i0

Tenglik bilan aniqlanuvchi ko’phadni tushunamiz. Bu yerda

d₀ 
a₀b_{0 ,}
d₁  a₀b₁  _, ^a₁^b₀

d₂  a₀b₂  a₁b₁  a₂b₂ ,
ko’phadlarning koeffitsiyentlari R butunlik sohasiga tegishli bo’lgani uchun

^an ^{≠0 va b}s ^{≠0 bo’lganda}
a_nb_s
 d_{n s}  0

^{bo’lib , n(a}n ^{≠0 ) va s(b}s ^{≠0) darajali ko’phadlar ko’paytmasining darajasi shu ko’phadlar} darajalarining yig’indisiga teng bo’ladi.
Biz bundan buyon n darajali bir noma’lumli ko’phadlar to’plamini R[x] deb belgilaymiz. Teorema 1.1 Bir noma’lumli ko’phadlar to’plami R[x] butunlik sohasini tashkil etadi Isbot: Ikkita ko’phad yig’indisi va ko’paytmasi yana ko’phaddan iborat ekanligini biz yuqorida ko’rib o’tdik .
Endi ko’phadlar to’plami uchun halqaning boshqa shartlari bajarilishini ko’rsatamiz, chunki butunlik sohasini qism halqadan iboratligi bizga ma’lum.

1 .haqiqatdan, agar ^a_
va ^b_
larni yuqoridagicha aniqlasak , quyidagilar bajariladi.

bo’lgani uchun
^{ a}_ , ^b_ єR ( ^a_
 b_
 b_
 a_{ )}

f (x)  (x)  _(a_
 0
 b_
)x^



_(b_
 0
 a_
)x^ ₌

t t

 _b_ x^
 0
 _a_ x^
 0
 (x) 
f (x)

Yani ko’phadlarni qo’shish kommutativdir.

2. 
   f(x) (x) = (x) f(x) (ko’paytirish amali kommutativ) ko’phadlarning koeffitsiyentlari R butunlik sohasiga tegishli bo’lganiga ko’ra
   


ns


k l 0
a_kb_l
ns


 b_l a_k
l k 0

bo’lgani tufayli f(x) ^ (x)= ^ (x)f(x) bajariladi.
^{Yuqorida ko’rib o’tganimizdek a}n ^{≠0 va b}s ^{≠0 bo’lganda}

Demak
^dns
 a_nb_s  0


ns


ns

l

k
F(x)= f(x) (x)= 
k l 0
_{a b x}l k
 _d_ x^
l k 0

Ko’phad ham nolga teng emas. Demak R[x] to’plam nolning bo’luvchilariga ega emas.

2. 
   ko’phadlar ko’paytmasi assoseativdir, ya’ni
   

f(x) ·(^ (x)·q(x)= (f(x)·^ (x)·q(x) (1.4)

4. f(x) ( (x)+q(x))=f(x) (x)+f(x)q(x) (1.5) Ko’phadlarni ko’paytirish qo’shish amaliga nisbatan distributivdir.
Ta’rif 1.4 Agar ko’phadlarning koeffitsiyentlari biror P maydonga tegishli bo’lsa,

Px
ga P maydon ustida qurilgan ko’phadlar halqasi deyiladi.

Ta’rif 1.5

f ()  a  a   a  ²  ...  a ⁿ  R

ifoda

0 1 2 n

f (x)  a₀

• 
  a₁
  

x  a₂
x²  ...  a
xⁿ  Rx

ko’phadning x=α dagi qiymati

n
deyiladi. Agar f(x)= (x) bo’lsa, ko’phadlarni algebraik ma’nodagi tengligi ta’rifiga binoan ^ ( ) =f (α) kelib chiqadi . Lekin
f(α)= ^ (α)
Tasdiqdan f(x)= ^ (x) tenglik har doim ham kelib chiqavermaydi.

Ko’phadlarning qoldiqli bo’linishi.

Faraz qilaylik
b  b x  b
x² ... b
_xn1 _{ b x}n
ko’phad berilgan bo’lsin.

0 1 2
n1 n

^{Darajasi n ga teng va bosh koeffitsiyenti b}n^{≠0 bo’lgan har qanday  (x) ko’phadning} bosh koeffitsiyentini doimo 1 ga keltirib olish mumkin. Buninng uchun
^(x)  g(x) b_n

2

m
Ko’phadni qarash kifoya g(x) ko’phaddan tashqari bosh koeffitsiyenti ixtiyoriy bo’lgan

f (x)  a₀

• 
  a₁
  

x  a₂ x
 ...  a_m x

m≥n darajali ko’phad berilgan bo’lsin.
Teorema 1.2. Har qanday f(x) va g(x) ko’phadlar uchun shunday h(x) va r(x) ko’phadlar mavjudki ular uchun
f(x)=g(x)·h(x)+r(x) (1.6)
tenglik bajariladi va bu tenglikni qanoatlantiruvchi h(x) va r(x) lar yagona.
^{Isbot. Agar f(x) ko’phaddan a}m^{xm-ng(x) ko’phadni ayirsak
f(x)- a}m^{xm-ng(x) =r}1^{(x)
Ko’phadda a}m^{xm-n had bo’lmaydi. Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin. r}1^{(x) ning} darajasi

1. 
   g(x) ning darajasidann kichik,
   
2. 
   g(x) ning darajasidan kichik emas, agar
   

a) hol yuz bersa,
^h_ ^{ a}m^xm-n;

r(x) bo’lib, teorema isbotlangan bo’ladi . biz b) hol ustida to’xtab o’tamiz. Faraz qilaylik

r (x) = ^c

• 
  c x  c
  

x²  ...  c x^k

1

ko’rinishda bo’lsin.

0 1 2 k

^{Endi g(x) ko’phadni c}k^{xn-k ga ko’paytirib natijani . r}1^{(x) dan ayiramiz}

k
^r1^{(x) - Ck n g(x)= r}2^{(x)
ko’phadda c}k^{xk had bo’lmaydi,} Chunki u ixchamlanib ketadi .

0 1 2 l
r₂(x) = d  d x  d x²  ...  d x^l

bo’lsin .

Bu yerda yana yuqoridagi ikki holdan biri yuz berishi mumkin. Agar l≥n bo’lsa, quyidagi ayirmani tuzamiz.
^r2^{(x) -d}l^{xl-ng(x)= r}3^(x) Bu protsesni davom ettirib biror  qadamdan keyin


Tenglikka erishamiz. Endi
^r 1
(x)  t_
x^n g(x)  r (x)

^{f(x)- a}m^{xm-ng(x)= r}1^{(x) ;}

k
^r1^{(x) - Ckn g(x)= r}2^{(x) ,
r}2^{(x)- d}l^{xl-ng(x)= r}3^{(x) ,}
....................................


tengliklarni hadlab qo’shamiz.
^r 1
(x)  t_
x^n g(x)  r (x)

^{Unda f(x)-( a}m^{xm-n+ Ckn + d}l^{xl-n+...+ t}μ^{xμ-n )g(x)= r (x)}

hosil bo’ladi. Bu yerda

^k 

k
^am^{xm-n+ Ckn +...+ t}μ^xμ-n=h(x) f(x)=g(x)h(x)+r(x)

hosil bo’ladi. f(x)=g(x)h(x)+r(x) tenglikda f(x) bo’linuvchi, g(x) bo’livchi h(x) chala
bo’linma, r(x) esa qoldiq ko’phadlr deyiladi. Bu teoremani ba’zan f(x) ko’phadni g(x) ko’phadga bo’lish algoritmi deb ham ataladi.