Nizomiy nomidagi toshkent davlat

5. Kvant nazariyasida holatlar prinsipi. Shredinger tenglamasi.

De-Broyl gipotezasini tajribada tasdiqlanishi, mikrozarrachalarning impuls va koordinatalarini aniqlashda noaniqlik munosabatlarini bajarilishi va boshqa qator tajribalar kvant mexanikasini yaratilishiga olib keldi.

Kvant mexanikasini yaratilish davri 1900 yilda M.Plank tomonidan yorug`lik kvanti haqidagi gipotezani yaratilish davridan boshlab, 1920 yillarni oxirigacha bo`lgan vaqtni o`z ichiga oladi. Kvant mexanikasini yaratishga avstriyalik fizik Ervin Shredinger (1887-1961), nemis fizigi Verner Geyzenberg va angliyalik fizik Plank Diraklar katta hissa qo`shgan. De-Broyl to`lqinining fizik ma`nosini tushunib olishga yorug`likning to`lqin va korpuskulyar xossalari orasidagi bog`lanishni ko`rib chIqish yordam beradi. Malumki, yorug`likning to`lqin nazariyasiga binoan difraksiya manzarasining intensivligi yorug`lik to`lqini amplitudasi kvadratiga proporsional. Yorug`likning kvant nazariyasiga binoan difraksiya manzarasining intensivligi, o`sha joyga tushayotgan kvantlar soni bilan aniqlanadi.

Mikrozarrachalardan kuzatiladigan difraksiya maksimum manzarasi ham ma`lum yo`nalishlar bo`yicha zarrachalar oqimini bir xilda taqsimlanganligiga bog`liq. Ma`lum yo`nalishga ko`p sondagi zarrachalar to`g`ri kelsa, boshqa yo`nalishga kam sonli zarrachalar to`g`ri keladi. To`lqin nazariyaga ko`ra difraksiya maksimumiga de-Broyl to`lqinning eng katta intensivligi (ravshanligi) mos keladi. Fazoning qayeriga ko`p sonli zarrachalar tushayotgan bo`lsa, o`sha joyda de-Broyl to`lqinining intensivligi (ravshanligi) ham katta bo`ladi. Boshqacha qilib aytganda mikrozarrachalardan hosil bo`ladigan difraksiya manzarasi zarrachalarning fazoning o`sha joyiga tushish ehtimolligiga bog`liq.

Kvant nazariyasining o`ziga xos tomoni shundaki, mikrozarrachalaning xossalarini o`rganishda ehtimolliklar qonuniyatlaridan foydalaniladi.

1926 yilda M.Bornning (1882-1970) ko`rsatishicha to`lqin qonuniyat bilan ehtimollik o`zgarmasdan, balki ehtimollikning amplitudasi o`zgaradi. Ehtimollikning amplitudasi fazoning koordinatalari va vaqtga bog`liq bo`lgan (x, y, z, t) to`lqin funksiya orqali ifodalanadi. Ehtimollik amplitudasi mavhum bo`lishi mumkin. Shuning uchun ehtimollik, uning modulining kvadratiga proporsional:

W (x, y, z, t) ² (5.1)

Demak, De-Broyl to`lqini amplitudasining kvadrati fazoning ayni nuqtasida mikrozarrani qayd qilish ehtimolligini harakterlaydi.

Shunday qilib, mikrozarrachaning holatini to`lqin funksiya bilan ifodalash statistik yoki boshqacha aytganda ehtimollik harakteriga ega. To`lqin funksiya qiymatining kvadrati zarrachani t vaqt momentida fazoning koordinatalari x va x+dx, y va y+dy, z va z+dz sohasida topilish ehtimolligini ko`rsatadi.

Demak, kvant mexanikasida zarrachaning holati butunlay yangicha, ya`ni zarrachaning ham to`lqin, ham korpuskulyar xususiyatini o`zida mujassamlashtirgan to`lqin funksiya orqali ifodalanadi. Zarrachani hajmning dv bo`lakchasida bo`lish ehtimolligi

dW=² d v (5.2)

ko`rinishda ifodalanadi. Bunda  - funksiya qiymatining kvadrati

² =

ehtimollik zichligini bildiradi. Bu yerda shuni nazarda tutish keraki, - funksiyaning o`zi fizik ma`noga ega bo`lmasdan, uning qiymatini kvadrati fizik ma`noga ega bo`lib, <sup>2</sup>ni haqiqiy va mavhum <sup>*</sup> funksiyalarining ko`paytmasi tarzda ifodalanadi va absolyut qiymatini kvadrati olinadi:

²= ^. ^*

Zarrachani V hajm chegarasida t vaqtda topilish ehtimolligini hisoblash uchun ehtimolliklarni qo`shish teoremasiga asosan V-hajm bo`yicha integrallash kerak:

Agarda zarracha haqiqatdan ham mavjud bo`lsa, uni butun V hajmda bo`lish ehtimolligi 1ga teng bo`ladi. Shu holda  - funksiya normallash deb ataluvchi shartni qanoatlantiradi. Ya`ni

(5.3)

bo`ladi. Ko`pincha ifodani biror zarrachani dv hajmni qayerga joylashishini bildiradi deb talqin qilinadi. Bunchalik sodda tushunish unchalik to`g`ri emas. Chunki, zarracha, masalan elektron, moddiy nuqta emaski, u cheksiz kichik dv hajmda joylashsa. Agar uni ta`siri bu hajmda sezilgan taqdirda ham, uni shu hajmda joylashgan deb bo`lmaydi. Shuning uchun uning ta`sir sohasi bilan joylashish sohasi orasidagi farq bor. Misol uchun elektron atomga urilib, uni ionlashtirdi deylik. Ammo bu urilishni elastik sharlarning urilishiga o`xshatib bo`lmaydi. Chunki, elektronning ta`sir doirasida turgan atomning o`lchami elektronga tegishli bo`lgan de-Broyl to`lqini (-funksiya) egallagan sohadan ancha kichikdir. Shuning uchun elektronni yoki boshqa har qanday zarrachaning topilish sohasi deganda biz ularni ta`siri sezilgan sohani tushunishimiz lozim. Demak, zarrachani joylashish sohasi bilan ta`sir sohasi bir-biridan farq qiladi.

-to`lqin funksiya zarrachaning holatini to`liq ifodalashi uchun u qator chegaraviy shartlarini qanoatlantirishi kerak:

a)  - funksiya chekli bo`lishi kerak, chunki mikrozarrachani fazoning biror nuqtasida qayd qilish ehtimolligining qiymati birdan katta bo`lishi mumkin emas;

b) - funksiya bir qiymatli bo`lishi kerak, chunki mikrozarrachani fazoning biror nuqtasida qayd qilish ehtimolligining qiymati har hil bo`lishi mumkin emas;

v) - funksiya uzuluksiz bo`lishi kerak, chunki mikrozarrachani qayd qilish ehtimolligi sakrashsimon ravishda o`zgarmaydi.

-funksiya superpozitsiya prinsipini qanoatlantiradi. Masalan, sistema ₁, ₂, ₃ , ..., _n to`lqin funksiyalar bilan ifodalanuvchi turli holatlarda bo`lsa, bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo`lgan holatda bo`lishi ham mumkin:

bu yerda C_n <(n=1,2,3,...) qandaydir kompleks son. Kvant mexanikasida to`lqin funksiyalarni bunday qo`shilishi klassik statistik nazariyadagi ehtimolliklarni qo`shishdan tubdan farq qiladi. Kvant mexanikasida  funksiyani bilgan holda mikroob'yektni ifodalovchi fizik kattalikni o`rtacha qiymati hisoblanadi. Masalan, elektrondan yadrogacha bo`lgan o`rtacha masofa quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Mikrozarrachaning to`lqin xususiyatini tajrbada tasdiqlanishi, uning bu to`lqin xususiyatini ( (x,y,z,t) - to`lqin fuktsiyani) va kuchlar maydonidagi harakatini ifodalovchi tenglama yaratish zaruriyatini tug`dirdi. Ma`lumki, to`lqin funksiyaning kvadrati zarrachani t-vaqtda dv hajm bo`lagida bo`lish ehtimolligini ifodalaydi. Demak zarrachani harakat tenglamasi uning to`lqin xususiyatini hisobga olgan elektromagnit to`lqinlar tenglamasiga o`xshagan bo`lishi kerak. Kvant mexanikasining bunday tenglamasini 1926 yilda E.Shredinger yaratdi.

Shredinger tenglamasi Nyuton va Maksvell tenglamalariga o`xshab, tayyor holda isbotsiz qabul qilinadi:

(5.4)

bu yerda ; - Diran doimiysi. m-zarrachaning massasi. - quyidagi ifodaga teng:

=

-belgi Laplas operatori yoki laplasiyan deyilib, koordinatalardan olingan ikkinchi tartibli xususiy hosilani bildiradi:

=

i- kompleks son, U (x,y,z,t)-zarrachaning potensial energiyasi. (5.4) tenglama Shredingerning umumiy tenglamasi yoki vaqtga bog`liq tenglamasi deb yuritiladi. Shredinger tenglamasidan olingan natijalarni tajribada tasdiqlanishi, uni tabiatning muhim qonunlaridan biri ekanligini isbotlaydi. (5.4) tenglamadagi yorug`lik tezligiga nisbatan bir muncha kichik tezlik bilan harakatlanuvchi har qanday mikrozarracha uchun to`g`ridir. (5.4) tenglamadagi Ψ-to`lqin funksiyasiga qo`yilgan chegara shartlarni (tugal, bir qiymatli va uzluksiz) qanoatlantirish bilan birga to`lqin funkiyadan olingan xususiy xosila uzluksiz, to`lqin funksiyaning kvadrati -integrallanuvchi bo`lishi kerak.

Kimyoda foydalanish vaqtida Shredinger tenglamasi sodda ko`rinishga keltiriladi.  va U ni vaqtga bog`liqligi hisobga olinmaydi. Haqiqatan ham zarracha doimiy maydonda harakat qilayotgan bo`lsa, U (x, y, z, t) funksiya vaqtga bog`liq bo`lmasdan, potensial energiyaning o`zini ifodalaydi. Bu holda Shredinger tenglamasining yechimini ikkita funksiyani ko`paytmasi tarzida ifodalash mumkin. Birinchi funksiya faqat koordinatga bog`liq bo`lsa, ikkinchi funksiya faqat vaqtga bog`liq bo`ladi.

(5.5)

(5.5) ko`rinishdagi tenglama Shredingerning turg`un holat uchun tenglamasi deyiladi. Kvant mexanikasining xususan, kimyoda uchraydigan ko`p masalalarini yechishda shu (5.6) tenglamadan foydalaniladi. Biz ham shu tenglamaning ayrim masalalarni yechishdagi tadbiqlarini ko`rib chiqamiz. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma`lumki, Shredinger tenglamasiga o`xshash tenglamalar har doim ham yyechimga ega bo`lavermaydi. U faqat energiyaning ma`lum bir aniq qiymatidagina xususiy yyechimga ega bo`ladi. E energiyaning topilgan qiymati uzluksiz yoki diskret bo`lishi mumkin.