Некоторые сведения из теории уравнения с частными производными

4.3 Иссиқлик ўтказувчанликнинг математик модели (чизиқли модель)

Физик масаланинг ифодаланиши уч типли муносабатни таълаб қилади.

1. 
   Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар, иссиқлик ўтказувчанликни физик жараёнларини ифодалайди.
   
2. 
   Чегаравий шартлар, чегараларда иссиқлик алмашинишни ифодалайди.
   
3. 
   Бошланғич шартлар, бошланғия жараёнларда система ҳолатини ифодалайди.
   

Иссиқлик ўтказувчанлик дифференциал тенгламаси
Бир ўлчовли иссиқлик ўтказувчанлик тенгламасининг қуйидаги кўринишда бўлади,


.

Бу тенглама ўз аро қуйидаги катталикларни боғлайди:

- вақтга нисбатан тезликнинг ўзгариши (град/с ўлчанади),
профил ҳарорати қобиғлиги (берилган нуқтада ҳароратнинг бошқа нуқтага нисбатан ўзгариш ҳолати).



Расим 1. тенгламага мувофик ҳароратнинг ўзгариши стрелкалар
йўналиши бўйича кўрсатилган.
Бу дифференциал тенглама иссиқлик миқдорини сақлаш тенгламаси асосида олинган. Бу дифференциал тенгламадаги катталик мусбат ёки манфий миқдор қабул қилиши, ҳароратни ( нуқтадаги стерженнинг вақтдаги ҳолати) кўтарилиши ёки тушишини билдиради. 2.2 расмда ҳароратнинг ўзгариши стерженнинг турли нуқталаридаги ҳолати тасвирланган.
Иссиқлик ўтказувчанлик тилида, катталикни интерпретациялашни кўриб чиқамиз. Аввало, и_хх катталикни чекли айирмалар бўйича аппроксимациялаймиз. Бу муносабатни қуйидаги кўринишда ёзишимиз мумкин,


,
.

Энди, кейинги интерпретацияни катталикка бериш мумкин.

1. 
   Агар ҳарорат, қўшни нуқталардаги ўртача қийматидан кичик бўлса, у ҳолда бўлади (бу ерда, ўқи бўйича иссиқликнинг тўлиқ оқими мусбатдир).
   
2. 
   Агар ҳарорат, қўшни нуқталардаги ўртача қийматига тенг бўлса, у ҳолда бўлади (бу ерда, х ўқи бўйича иссиқликнинг тўлиқ оқими нольга тенгдир).
   
3. 
   Агар ҳарорат, қўшни нуқталардаги ўртача қийматидан катта бўлса, у ҳолда бўлади (бу ерда, х ўқи бўйича иссиқликнинг тўлиқ оқими манфийдир).
   

Агар х нуқтадаги ҳарорат, қўшни ва нуқталардаги ҳароратдан катта бўлса, у ҳолда ҳарорат нуқтада камаяди. Демак, ҳароратнинг аниқ тезлиги камаяди, яъни айирма катталикка пропорционалдир. Жисм хусусияти пропорционаллик коэффициенти бўйича аниқланади. Бу муносабатга батафсил кейинги маърузаларда тўҳталамиз.
Чегаравий шартлар (ЧШ) чегарадаги ҳарорат бўйича аниқланади,
ва
ҳамма вақт муносабат мос ҳолда ва тенгдир, яъни
(ЧШ) (4.2)
Бошлангич шарт (БШ)
Физик жараёнларнинг барчаси қандайдир вақт оралиғида бошланади ва одатда нольга тенгланади яъни шу шарт асосида бошланғич шартлар (БШ) берилади.
Кузатиш вақтини биз стержен ҳарорати доимийсига тенглигида бошлаймиз,
(БШ) . (4.3)
Энди биз, тажрибанинг математик моделини тузамиз. (4.1), (4.2) ва (4.3) муносабатлар иссиқлик ўтказувчанлик тенгламаси учун аралаш масалалар дейилади, ҳамда қуйидаги кўринишда ёзилади


(4.4)

(ЧШ)

(БШ)


Қизиқарлиги шундаки, яққол ҳолда эмас, яъни (1.4) шартни қаноатлантирувчи ягона функциянинг мавжудми ва стержендаги ҳароратни ифодалайдими? Бизнинг асосий мақсадимиз, (1.4) системадан ягона функцияни топишдир.