Название обратной тригонометрической функции

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция {\displaystyle y=\cos x.} На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие {\displaystyle y=\arccos x} функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — {\displaystyle [0;\pi ].} На этом отрезке {\displaystyle y=\cos x} строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке {\displaystyle [0;\pi ]} существует обратная функция {\displaystyle y=\arccos x,} график которой симметричен графику {\displaystyle y=\cos x} на отрезке {\displaystyle [0;\pi ]} относительно прямой {\displaystyle y=x.}

Функция arctg[править | править код]

График функции {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}
Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла {\displaystyle y,} выраженное в радианах, для которого {\displaystyle \operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}Функция {\displaystyle y=\operatorname {arctg} x} определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

• 
  {\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x} при {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y} при {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}
• 
  {\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )} (область определения),
  
• 
  {\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)} (область значений).
  

Свойства функции arctg[править | править код]

• 
  {\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad } (функция является нечётной).
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}, при x > 0.
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}.}
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix}}, где {\displaystyle \operatorname {arth} } — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.}