Название обратной тригонометрической функции

Использование в геометрии[править | править код]

Прямоугольный треугольник ABC
Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.
В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины {\displaystyle a} является противолежащим для угла {\displaystyle \alpha }, то
{\displaystyle \alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).}

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}

См. также[править | править код]

• 
  Обратные гиперболические функции
  
• 
  Теорема Данжуа — Лузина
  

Примечания[править | править код]

1. 
   ↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
   
2. 
   ↑ Здесь знак ⁻¹ определяет функцию x = f⁻¹ (y), обратную функции y = f (x)
   
3. 
   ↑ Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.
   
4. 
   ↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой {\displaystyle \arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},} где {\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x}