|
dQ1+dQ2=dQ . (2.1.14.)
Bu tenglama hadlarini Dekart koordinata tizimida aniqlash uchun jismda tomonlari dx, dy, va dz bo‘lgan parallelepiped ajratib olamiz.
Bu yerda dQx, dQy, dQz – olib keltirilayotgan issiqlik. dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz – olib ketilayotgan issiqlik.
Xuddi shunday bog‘lanishni qolgan ikki qirra uchun keltirib chiqarish mumkin. U holda jismga keltirilgan va unda qolgan umumiy issiqlik miqdori quyidagiga teng bo‘ladi:
. (2.1.14.a)
Agar ichki issiqlik manbaining solishtirma issiqlik unumdorligini orqali belgilasak: bo‘ladi.
vaqt ichida jismning ichki energiyasining o‘zgarishi
, (2.1.14.b)
dQ1, dQ2 va dQ larni (9) tenglamaga qo‘yib, ba’zi o‘zgartirishlardan so‘ng quyidagini hosil qilamiz:
,
yoki
. (2.1.15.)
bu yerda - temperatura o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti;
- Laplas operatori.
U holda, issiqlik o‘tkazuvchanlik differensial tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:
. (2.1.16.)
Silindrik koordinatalar tizimida (2.1.16.) - tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
, (2.1.17.)
bu yerda - radius vektor; - burchak.
Statsionar holat uchun , u holda (2.1.16.) - tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
. (2.1.18.)
Ichki issiqlik manbai bo‘lmasa: Statsionar holatda
. (2.1.16.)
Nostatsionar holatda:
. (2.1.17.)
(2.1.15.) va (2.1.16.) - tenglamalar, issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayoni ro‘y berayotgan jismning istalgan nuqtasidagi temperaturaning vaqt va fazoviy o‘zgarishlari orasidagi bog‘lanishni belgilaydi. Issiqlik o‘tkazuvchanlikni differensial tenglamasi (Furye tenglamasi) issiqlik o‘tkazuvchanlik usuli bilan issiqlik uzatilishini eng umumiy holda yoritadi. Bu tenglamani aniq bir hollar uchun qo‘llashda, vaqtning boshlang‘ich paytida jismda temperaturaning taqsimlanishini va boshlang‘ich shartlarni bilish zarur. Bundan tashqari quyidagilar ma’lum bo‘lishi kerak: jismning geometrik shakli va o‘lchami, muhit va jismning fizik parametrlari, jism sirtida temperaturaning taqsimlanishini belgilovchi chegara shartlari. Yuqoridagi barcha xususiyatlar differensial tenglama bilan birgalikda aniq bir issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayonlarini to‘liq yoritadi va bir xillilik shartlari yoki chegara shartlari deb aytiladi. Odatda, temperaturaning boshlang‘ich taqsimoti vaqt uchun beriladi. Chegara shartlari uch xil usulda berilishi mumkin. Chegara shartlarining birinchi turida temperaturaning jism sirtida taqsimoti vaqtning istalgan har qanday payti uchun beriladi. Chegara shartlarining ikkinchi turida vaqtning har qanday istalgan payti uchun jism sirtidagi har qaysi nuqtada issiqlik oqimining zichligi beriladi. Chegara shartlarining uchinchi turida jismni o‘rab turgan muhit temperaturasi va jism sirti bilan atrof muhit o‘rtasidagi issiqlik berish qonuniyatlari beriladi. Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differensial tenglamasini bir xillilik shartlari asosida yechish, jismni butun hajmi bo‘yicha vaqtning istalgan paytida temperatura maydonini aniqlash imkonini beradi.
Materialning issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti temperaturaga bog‘liq emas, deb qabul qilamiz. Devorning tashqi sirtlarida temperaturalar o‘zgarmas holda saqlab turiladi; temperatura faqat devor sirtiga perpendikulyar bo‘lgan o‘q x yo‘nalishdagina o‘zgaradi, ya’ni temperatura maydoni bir o‘lchamli, temperatura gradienti ga teng. Devor orqali o‘tadigan issiqlik oqimining zichligini topamiz va temperaturaning devor qalinligi bo‘yicha o‘zgarish tavsifini aniqlaymiz. Devor ichida ikkita izotermik sirt bilan chegaralangan, qalinligi dx bo‘lgan elementar qatlamni ajratamiz. Bu qatlam uchun Fure tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(2.1.18.)
Integrallash doimiysi c chegara shartlaridan aniqlanadi: x=0 bo‘lganda t=t1. Bundan c=t1, binobarin tenglama quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
.
Bu tenglamadan ko‘rib chiqilayotgan devor orqali o‘tuvchi issiqlik oqimining zichligini aniqlash mumkin. Ushbu tenglamaga x= qiymatni qo‘ysak t=t2 bo‘ladi, bundan
. (2.1.19.)
Yassi devorda issiqlik oqimining zichligi issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti ga, temperaturalar farqi (t1–t2) ga to‘g‘ri proporsional va devor qalinligi ga teskari proporsional bo‘ladi. Shuni nazarda tutish kerakki, issiqlik oqimi temperaturaning absolyut qiymati bilan emas, balki ularning farqi issiqlik bosimi bilan aniqlanadi. nisbat devorning issiqlik o‘tkazuvchanligi deyiladi; uning o‘lchamligi [ ]. (2.1.19.) - tenglikni boshqacha ko‘rinishda yozish mumkin:
. (2.1.20.)
Devor qalinligining issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyentiga nisbati devorning termik qarshiligi deyiladi.
(2.1.19.) - formuladan devorning yassi sirti F orqali vaqt ichida uzatilgan umumiy issiqlik miqdori Q ning qiymatini topish mumkin.
. (2.1.21.)
Agar (2.1.18.) formulaga (2.1.19.) - formuladan q ning qiymatini keltirib qo‘ysak, temperatura egri chizig‘ining tenglamasini olish mumkin.
. (2.1.22.)
Bu tenglama to‘g‘ri chiziq tenglamasi deyiladi. Shunday qilib ning qiymati o‘zgarmas bo‘lganda temperatura bir jinsli devor qalinligi bo‘ylab chiziqli o‘zgaradi. Agar temperaturaga bog‘liq bo‘lsa, hisoblash formulalari birmuncha murakab bo‘ladi.
Yassi ko‘p qatlamli devorning issiqlik o‘tkazuvchanligi. Amalda issiqlik o‘tkazuvchanligi turlicha bo‘lgan materiallardan yasalgan bir necha qatlamli yassi devor orqali issiqlik uzatish jarayonining ahamiyati ancha muhim. Masalan, bug‘ qozonining tashqi tomonidan shlaklar bilan, ichki tomonidan esa quyqa bilan qoplangan metall devori uch qatlamli bo‘ladi. Yassi uch qatlamli devor orqali issiqlik o‘tkazuvchanlik yo‘li bilan issiqlik uzatish jarayonini ko‘rib chiqamiz. Bunday devorning barcha qatlamlari bir-biriga zich yopishib turadi. Qatlamlarning qalinligi , va bilan, har qaysi materialning issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti esa tegishlicha , va bilan belgilangan. Tashqi sirtlarning temperaturalari t1 va t4 ham ma’lum. t2 va t3 temperaturalar noma’lum bo‘lsin.
Biz statsionar holni ko‘rib chiqayotganligimiz tufayli issiqlik oqimining zichligi q kattaligi jihatdan o‘zgarmas va barcha qatlamlar uchun bir xil bo‘ladi. Shu sababli har qaysi devor qatlami uchun (2.1.19.) - formula asosida quyidagicha yozish mumkin:
Bu tenglamadan har qaysi qatlamda temperaturaning o‘zgarishini aniqlasa bo‘ladi:
(2.1.23.)
Bundan .
2.1.2-chizma. Yassi uch qatlamli devor
Bu nisbatdan ko‘p qatlamli devor orqali o‘tadigan solishtirma issiqlik oqimi q ning kattaligini aniqlash mumkin:
. (2.1.24.)
Do'stlaringiz bilan baham: |
