Nazariy ma’lumot. Qimmatli qog’ozlar bozorining crr (Koks – Ross – Rubenshteyn) modeli

1. - bozorningbir qadamli modeli

Endi yuqorida olingan natijalarni, ya’ni opsionning optimal narxini, hedjlantiruvchi strategiyani hisoblashga, - bozor modeliga misol sifatida valyuta bozoridagi jarayonni ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik (S_n) – 100$ qiymatli Shveytsariya frankiga nisbatan o’zgarish evolutsiyasini ifodalasin. Bunda S₀ = 100$ = 150 SFR bo’lsin. Keyingi qadamda, ya’ni vaqtning n=1 momentida kurs oshsa S₁ = 180 SFR, agar kamaysa S₁ = 90S FR bo’lsin. Demak,

bo’lib, .

Faraz qilaylik, bank hisobida B₀ = 1SFR bo’lsin va bankdan qarz olganda yoki bankka qo’yilganda foiz to’lovlari r = 0 bo’lsin. N=1 bo’lib, f(S₁)= max(0, S₁-K), K=150 SFR bo’lsin, ya’ni Yevropa turidagi opsion kollda opsion egasi f (S₁) = 180 SFR – 150 SFR = 30S FR foyda olsin. Kurs tushganda esa f (S₁) = 0 bo’ladi.

Agar kursni oshish va pasayish ehtimoli , ya’ni bo’lsa, u holda bu opsionning narxi Ef (S₁) = 30 SFR*1/2 = 15 SFRga teng bolar edi va biz quyida ko’ramizki, bu holda emitent zarar ko’radi. Lekin har doim ham bo’lavermaydi va uni har doim ham baholay olmaymiz. Shuning uchun, bozor modelini qurishda p ni o’rniga empirik ehtimollik p^* ni olamiz. Faraz qilaylik, – bozor arbitraj imkoniyatisiz bozor bo’lsin. U holda p^* + q^* = 1, ekanligidan, (2.22) va (2.23) formulalardan

va

bo’ladi. Demak, opsionning sotuvchi va oluvchi uchun muqobil narxi C₁ = 20 SFR bo’lar ekan. Bu qiymat investorning boshlang’ich mablag’i bo’ladi, ya’ni X₀ = C₁ = 20 SFR. Demak muqobil narx 15 SFR emas, balki 20 SFR ekan, chunki kursning oshishi 180 SFR – 150 SFR = 30 SFR ga, kamayishi esa 150 SFR – 90 SFR = 60 SFR ga teng bo’lyapti. Shuning uchun 30*1/2 = 15 SFR muqobil narx bo’la olmaydi.

Endi sotuvchi (emitent) bu 20 SFR boshlang’ich mablag’ni olib portfel tuzadi. Bu holda

, , , .

Vaqtning n=1 momentiga qadar, sotuvchi oldindan o’zining portfeli ni shunday portfelga qayta taqsimlashi (shakllantirishi) kerakki, yangi S₁ narx e’lon qilingandan keyin u N=1 momentda shartnoma bo’yicha o’z majburiyatini to’la bajarsin. (2.18) va (2.19) formulalardan kelib chiqadiki:

=

= =

.

Bu yerda – 30 SFR (minus) chiqishini ma’nosi sotuvchi bankdan 30 SFR qarz oladi degani. Shunday qilib emitent

mablag’ga ega bo’ladi.

Demak emitentning vaqtning n=1 momenti oldidagi mablag’i 20SFR sotib oluvchidan, 30SFR esa bankdan qarz hisobiga 50 SFR ga yetadi. Dollarga chaqqanimizda, kurs bo’yicha emitentning mablag’i bo’ladi.

Vaqtning N=1 momentida yangi narx e’lon qilindi, u holda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:

1-hol, kurs oshdi deylik, ya’ni bo’lib, $100 = 180 SFR. Bu holda emitent o’z majburiyatini bajarishi kerak bo’ladi, ya’ni yana qo’shimcha 30SFR (180-150=30 SFR) to’lov to’lashi kerak. N = 1 qadamda emitent portfeli , mablag’i esa

ga teng bo’ladi va u shuning uchun u o’z majburiyatini to’lay oladi. Bu degani uning mablag’i 180*1/3 = 60 SFR bo’lgani uchun emitent bir yo’la bankdan olgan (-30 SFR) qarzini ham va opsion oluvchiga to’lanadigan to’lov 30 SFRni ham to’lay oladi.

Emitent yuqorida qanday yo’l tutdi? U sotib oluvchidan tushgan 20SFR ga qo’shimcha bankdan 30 SFR qarz olib, bu mablag’ga $33,33 sotib oldi. Bu dollar kurs oshishi bilan

bo’ladi.Agar tushgan 20 SFR ni o’zini ushlab o’tirsa yoki shu mablag’ni o’ziga

kelar edi va kurs oshganida

ga ega bo’lib qarzni qaytara olmas edi. Yuqoridagi 15 SFR mukofot olganida ham muqobil narx bo’lmagani uchun o’z majburiyatini bajara olmas edi. Demak, emitent aksiya narxining o’zgarishiga qarab, matematik model yordamida, o’z portfelini shunday shakllantirdiki, natijada maqsadga erishdi, o’z majburiyatini bajara oldi.

2– hol. Valyuta kursi pasaydi deylik, ya’ni 100$=90 SFR bo’ldi. Bu

holda opsion egasi emitentdan majburiyat bajarilishini talab qilimaydi, ya’ni f(S₁)=0 bo’ladi. Bu holda emitent opsion egasiga hech narsa to’lamaydi, lekin u bankdan olgan qarzini qaytarishi kerak bo’ladi. Buning uchun uning mablag’i N=1 momentda

bo’lgan edi. Shuning uchun faqat bankdan olgan qarzni to’lashga yetadi.

Takrоrlash va nazоrat uchun savоllar:
1. Qimmatli qog’ozlarning qanday modellarini bilasiz?

2. Qimmatli qog’ozlar portfeli deganda nimani tushunasiz?

3. Qanday bozorga to’la bozor deyiladi?

4. To’la bozorning asosiy ko’rsatkichlarini ayting?

5. Yevropa turidagi opsionlar uchun to’lov funksiyasini keltiring?

6. Arbitraj va hedj degani nima?

7. Investorning qimmatli qog’ozlar bozoridagi strategiyasi deb nimaga aytiladi?

8. Mukammal portfel, strategiya deb nimaga aytiladi?