Nazariy fizika kursi

j
L
dp
M
= ----
£ q p = £ q 5
— £ 
q
/ 
dp 
№ к ! 
ikl' к j! 
ikj к
j
-£ ч ■
ijk к
( 7 . 1 0 3 )
Ko'rinib turibdiki, 
i
=
j
boisa o ‘ng tomon hamma vaqt nolga teng.
7.4.4-raisol. {p.?""} ni hisoblang.
Bu qavsning bitta ixtiyoriy 
i
komponentasini topamiz:
f 
г.
i 
^ 
n 
n~2
\ p‘'r
} = 3 7 r = ,,r 
'•
dr
( 7 . 1 0 4 )
Vektoi ko‘rinishida:
j 
- 
n r
r.
(7.105)
Sbuncha Puasson qavslarini hisoblandi. Bularning amaliy ahamiyati 
nimadan iborat? Buni oiganish uchun paragrafning boshidagi umumlashgan 
impuls va koordinatalarning vaqtga oshkora bog‘liq b o ‘lmagari ixtiyoriy 
funksiyasi 
f(p{t),q(t))
uchun bo‘lgan (7.82) formulaga qaytib kelaylik. Mana 
shu funksiyani vaqt bo‘yicha qatorga yoyaylik:
f(p(t),q(t))
= 
f{p(0),q(0)) +
df dp
+ V d q
\
dp dt
V
,,-o 
дЯ ^
t +
1
H— 
2
d2f
. 2
0 Э2/ . .
э 2/
. 2
— — 
p
+ 
2
------
pq
----- — 
q
dp2 
ЪрЪЧИЧ 
dq*
t2
+ ■
( 7 . 1 0 6 )
/
1=0
Kanonik tenglamalardan foydalanib, 
p
va 
q
laming o'rniga 
H
ning hosilalari 
qo‘yilsa quyidagi formulaga kelinadi:
/ ( Р ( 0 , 9 ( 0 ) = Л Р ( 0 ) , 9 ( 0 ) ) + 
{ Я )/ } | , =0Г 
+
^ { Я , { Я
, / } } | <=0
r
+ - ( 7 . 1 0 7 )
Bu formula bizga Gamilton funksiyasi va Puasson qavsining yana bir muhum 
m a ’nosini tushunishga yordam beradi — G am ilton funksiyasi mexanik 
sistemaning vaqt bo'yicha siljishini Puasson qavslari orqali t a ’minlovchi 
kattalik ekan.
Shu tomonni vorituvchi bir misol keltirainiz.
205

---

7.4.5-m isol. G a rm o n ik ossillator uchun 
p(t
) ni (7.107) qator yordam ida 
hisoblang. G a r m o n ik ossillatorning G a m ilto n funksiyasi topilgan ((7.12) 
ga qarang):
Kerakli bo'igan Poissom qavslarini topaylik:
B o s h la n g ’ich shartlarni p ( 0 ) ;=p(l va * (0 ) = х о deb bclgilab o lam iz. U n d a n
tashqari, 
k= m of
ekanligini ham hisobga olaylik. Demak,
= 
P
q
cos(co/) — 
mcox
0
sin(ftW).
H uddi shu y o ‘1 bilan 
x(r)
ni ham topish m um kin. Buning u c h u n yana 
o ‘sha (7.109) Puasson qavslaridan foydalansak vetarlidir:
Albatta, m a ’lum b o 'ig an yechim topildi. Bu yechim ni oddiy differensial 
ten g lam an i yechish yo'li bilan topish o sonroq edi, a m m o , hozir q o ‘llagan 
m eto d m urakkabroq bo'igan misollarda qulayroq bo'lib chiqishi m um kin. 
Ayniqsa, kvant mexanikasiga o'tishda bu m e to d n in g aham iyati oshadi.
Endi ixtiyoriy 
J[r)
funksiya bilan impulsning P uasson qavslari (7.87) 
ga kelaylik. Uni
(7.109)
(7.110)
Pn
x(t) = x0
cos(ft>
0
H---- -sm(flM)-
mco
(7.111)
(7.112)
k o lrinishda yozib olib, 
n
marta qayta qo'llaylik:
( 7 .1 1 3 )
f[r)
funksiya uch u n Taylor qatorini yozaylik:
206

---

/(Г) 
./«))•>