|
6.1. Dinamik o‘zgaruvchilar
6.1.1. Koordinata o‘qlarini tanlash. Burchak tezlik1
Mexanikada qattiq jism deganda uning moddiy nuqtalari orasidagi
masofa o'zgarmas bo'igan sistema ko'zda tutiladi. Albatta, bu ma’lum
bir darajadagi yaqinlashuv, uning qo'ilanishi tezliklarning kichikligi
biian bog'liq. Qattiq jismning harakati haqida gapirganda uni yoki
diskret moddiy nuqtalardan iborat sistema, yoki uzliksiz muhitli sistema
deb qaraladi.
Qattiq jismning erkintik darajalari soni
6
ga teng. Buni quyidagicha
ko'rish mumkin. Jism Arta moddiy nuqtadan iborat bo'isin. Ularning
erkinlik darajalari soni 3A;ga teng. Shu nuqtalarning bir to'g'ri chiziqda
yotmagan ixtiyoriy 3 tasini tanlab olinadi, ularning orasidagi masofa-
larning o'zgarmaslik shartlari soni 3 ga teng. Qolgan /V — J ta nuqtaning
har bittasidan shu uchta nuqtagacha masofalarning o'zgarmaslik
shartlari 3(/V— 3 ) ta boiadi. Demak, sistemaning erkinlik darajalari
soni 3N —3 —3(/V — 3
)= 6
ga teng ekan.
Buni soddaroq qilib aytish ham mumkin --jism ichidagi bir to'g'ri
chiziqda yotmagan ixtiyoriy uchta nuqtani tanlab olish uchun
6
ta
umumlashgan koordinatalarni aniqlash yetarlidir, qolgan N — 3 ta
nuqta masofalarning o'zgarmaslik shartlari orqali aniqlanadi.
Keyingi formulalarda, odatda, qattiq jismni diskret moddiy nuqta
lardan iborat bo'igan sistema deb ko'riladi. Qattiq jismni uzliksiz muhit
sifatida qarash uchun diskret moddiy nuqtalar bo'yicha yig'indilarni
(ular uchraganda) shu qattiq jism ning hajmi bo'yicha integralga
quyidagi sodda qoida bo'yicha almashtirish yetarli:
bunda a — mamassali nuqtaning nomeri.
Qattiq jism ning harakatini o'rganish ucbun ikkita koordinat
sistemalarini kiritish maqsadga muvofiqdir. Ularning biri laboratoriya
1
U shbu bobni o ‘rganishdan o ld in ilovadagi vektorlar bilan ishlash qoidalari bilan
tanishib chiqish kerak.
(
6
.
1
)
a
V
139
sistemasi bo‘lib, uning o ‘qlari katta harflar bilan belgilanadi — X, Y,
Z. Ikkinchisi — shu qattiq jism bilan mahkam bogMangan sistema,
6.1- rasm.
Qattiq jism koordinatlari.
lining o'qlarini x, y, z deb belgilanadi. Bu sistemaning boshini jismning
inersiya markazida joylashtirish qulaydir.
0
‘qlari x, y, z bo‘lgan sistema shu qattiq jism bilan birga harakatda
bo'Iadi. Harakatdagi sistemaning koordinat boshi qo‘zg'almas sistemada
R radius-vektor orqali ifodalansin.
Qattiq jism ning ixtiyoriy bir nuqtasi olinadi, qo ‘zg‘almas va
qo‘zg‘oluvchan sistemalarda uning radius-vektorlari mos ravishda r va
r' boMsin (
6
.
1
-rasmga qarang). K o‘rinib turibdiki
r = R + r'.
(6 .2 )
Jismning cheksiz kichik siljishini ko‘raylik. Bu siljish ikki qismdan
iborat bo‘ladi: birinchisi — butun bir jismning o ‘z-o'ziga parallel
ko'chishi, bu — jismning inersiya markazining ko'chishi dR orqali
hosil bo lgan qismi, ikkinchisi — jismning d q> burchakka buralishi
natijasida hosil bo‘lgan qismi:
dr = cIR + dr' = clR + {d(pr'\.
(6.3)
Bu tenglikning ikkala tomonini dt ga bo‘lsak va
d
ф
dr
dR
v
= — , V = -- .
dt
dt
Q. = -
dt
(6.4)
formulalar orqali ko‘rilayotgan nuqtaning qo‘zg‘almas sistemadagi
to‘liq tezligi, jism inersiya markazining shu sistemadagi tezhgi va
jismning burchak tezligi Cl larni kiritilsa, tezliklar orasidagi munosabat
olinadi:
v = V + [£2r'].
(6.5)
140
Ikkita koordinat sistemasini kiritishning qulayligi endi tushunarli
bo‘ldi — jismning ixtiyoriy harakatini uning inersiya markazining o‘ziga
parallel ko‘chishi x inersiya markazidan oigan o‘q atrofida aylanishi
deb qarash mumkin ekan.
Qattiq jismning inersiya markazi sistemasiga o ‘taylik. Bu holda
(6.5) bo'yicha jism nuqtasining chiziqli tezligi uning burchak tezligi
bilan v' = [Qr'l formula orqali bog'langan.
Koordinat boshi О ni va o'qlarni tanlash ixtiyoriydir, jismning
ilgarilanma harakat tezligi yangi sistemada albatta, o'zgaradi. Ammo
burchak tezlik esa bunda o'zgarmaydi. Shuni ko'rsatish uchun
qo‘zg‘luvchan sistema boshini a vektorga ko'chiramiz:
r' = a + r,.
(6.6)
Bir toinondan
r = R + a + r,.
(6.7)
ikkinchi tomondan
r = R , -f r,.
(6.8)
Bunda R, yangi koordinat boshi 0 ! ning О ga nisbatan radius-
vektori, r, — nuqtaning 0 ; ga nisbatan radius-vektori. Jism ilgari-
lamna + aylanma harakat qilganida tezliklar uchun
v = V + [QaJ + [Qr,J
(6.9)
va
v = V ,+ [Q ,r1J
(6.10)
formulalar hosil boMadi. Bu yerdan ko'rinib turibdiki, V ,= V +
[Qa]
va Q = Q p ya’ni, jismning burchak tezligi koordinat sistemasini tanlab
olishga bog'liq emas ekan. Dem ak, burchak tezlik jism aylanma
harakatining haqiqiy xarakteristikasi ekan. Odatda, harakatdagi sistema
boshi jismning inersiya markazida olingan deb qaraymiz.
6.1.2. Inersiya markazi. Impuls
Qattiq jismning to'liq massasini m = Ъ П« deb belgilaymiz. Inersiya
a
markazining ta’rifi bo'yicha
141
К = ~ Ъ ПаГ«-
(
6
.
1 1
)
т а
Uzliksiz sistema uchun
R = 4 d ' r p ( r ) r ,
(6]2)
v
bunda V — jismning hajmi. Agar 0* nuqta jismning inersiya markazida
joylashgan bo‘lsa
2 4 r'o =0
(6.13)
a
boiadi. Uzliksiz sistema uchun bu tenglikni
p V P(rV = О
(6Л4)
ko‘rinishda yozib olish mumkin.
Bundan keyin hamma formulalarni diskret holda yozaveramiz,
uzliksiz holga o ‘tish qiyin emasligini ko'rdik.
Impulsga kelaylik. Impuls additivlik xossasiga ega ekanligidan
p =
=
J j ,i« y + Y j n «
[ Q r ' « ] = ' ” V + Z ' ^ [ Q r ’ul-
( 6 . 1 5 )
a
a
a
a
Shtrixlangan koordinat boshi inersiya markazida bo‘lsa, ikkinchi had
yana nolga teng bo‘ladi:
P = wV
(6.16)
Y a’ni, koordinat boshi inersiya markazida olinsa, jismning ilgarilanma
harakatini o'rganganda uning butun massasini bitta R radiusli nuqtada
joylashgan deb qarash mumkin ekan.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
