Nazariy fizika kursi

I V bob
BIR 0 ‘LCHAMLI MASALALAR
4.1. Cheksiz chuqur potensial o‘radagi harakat
Ushbu bobda Shredinger tenglamasini bir necha m asalalami 
yechishga q o ilaniladi, chunki Shredinger tenglamasi sodda potensial 
m aydonlar uchungina aniq yechimlarga ega. Bu xil dagi oddiy 
m asalalam i yechishdan maqsad, Shredinger tenglamasining m atematik 
apparatini m ukammalroq egallashdan iborat. Dastlab, zarrachaning bir 
o ich o v li oddiy harakati ko‘rib chiqiladi. Potensial energiyasi
U(x)
= j °
3gar ° [oo agar x < 0 
va x > I
orqali ifodalangan potensial m aydonda zarrachaning 
bir o ich a m li 
harakati tekshirib chiqiladi. Bunday potensial maydonni cheksiz 
potensial o ‘ra deyiladi va ravshanki bunday o ‘rada zarracha faqat 
0
oraliqda harakatlanishi mumkin. Bu m asala asosan uch jihatdan 
qiziqtiradi:
1) 
cheklab q o ‘yilgan zarracha harakatini ifodalovchi Shredinger 
tenglamasini qanday yechish mumkin;
2) shu tenglam a yechim ining xarakterli xossalarini aniqlash;
3) m asalaning kvant mexanikasi hamda klassik mexanikasi yordamida 
olingan yechimlarini o ‘zaro taqqoslash.
M azkur potensial o ‘rada klassik zarrachaning harakatini k o ‘rib 
chiqaylik. M a’lumki, potensial o‘radagi klassik zarrachaning energiyasi 
ixtiyoriy qiymat qabul qila olishi mumkin. Agar zarrachaning to‘la 
energiyasi 
0
oraliqda joylashgan b o ‘lsa, u holda zarracha 
potensial o ‘radan chiqib keta olmaydi. Chunki zarracha potensial 
o'radan chiqib keta olishi uchun u t o i a energiyadan katta potensial 
to ‘siqni yengib o ‘tib, shu qiymatli potensial energiyaga teng b o ig a n
t o i a energiyaga ega b o iib qolishi kerak. Lekin bu holda zarrachaning 
kinetik energiyasi manfiy qiymatga ega b o iib qoladi va tabiiyki bu 
mumkin emas. Yuqorida aytib o ‘tilgan tasdiq, albatta, klassik zarracha 
harakati uchun m um kin b o im a g a n hoi b o ia d i: hech qanday zarracha 
manfiy kinetik energiya bilan harakat qila olmaydi. Shuning uchun, 
potensial o ‘ra chekkasiga yetgan klassik zarracha 
uning devoridan
108

---

qaytadi va teskari yo‘nalishda harakatlanadi, o ‘raning qarama-qarshi 
devoriga yetib borgandan so‘ng, yana orqaga qaytadi va hokazo. 
Shunday qilib, klassik fizika qonunlariga asosan zarracha potensial o ‘ra 
tashqarisida b o ‘la olmaydi va o ‘ra ichida har qanday nuqtada bir xil 
ehtimol bilan qayd qilinishi mumkin.
Kvant mexanikasi 
qonunlariga b o ‘ysunadigan zarrachaning 
potensial 
o ‘radagi 
harakati 
butunlay 
boshqacha 
b o ‘ladi. 
Kvantlanishning asosiy shartiga k o ‘ra, zarracha harakatining to ‘lqin 
funksiyasi uzluksiz va bir qiymatli b o iis h i kerak. Demak, zarrachaning 
to iq in funksiyasi x - o'qining m usbat y o ‘nalishi b o ‘ylab koordinataning 
x>0 sohasida tekis o ‘zgarishi uchun potensial o ‘raning o ‘ng devoridan 
tashqi qismida ham davom ettirilishi kerak. Potensial energiya cheksiz 
katta b o ig a n holida, y a’ni potensial o ‘raning chap devoridan tashqi 
qismida zarrachaning harakati k o ‘rib chiqiladi. Shredinger tenglamasini 
yechmasdan turib, zarrachaning chap devordan tashqi sohadagi 
harakatiga quyidagicha izoh berish mumkin: kvant mexanikasi nuqtayi 
nazaridan, zarrachaning mutlaqo o ‘tib bo lm ay d ig an
x
< 0 sohaga kira 
olish ehtimoli zarracha qancha katta b o is a , shuncha kichik b o iad i.
Potensial 
o ‘radagi 
zarracha 
harakatiga 
oid 
Shredinger 
tenglamasini yechishdan avval bu m asala uchun chegaraviy shartlarini 
ifodalanadi. Zarracha potensial o ‘ra tashqarisida joylasha olmasligini 
hisobga olsak, uning 0 
< x < I
oraliqdan tashqarida to iq in funksiyasi 
nolga teng b o ia d i. Ikkinchidan, uzluksizlik shartidan