|
6
. Quyidagi operator tenglamalarni tekshirib chiqing:
ta ’sirining n atijasi aniqlansin.
8
. Agar
A va
в operatorlar ermit operatorlari bo ‘Isa, и holda
A+B
va
AB+BA
operatorlam ing ermitligi ham
ко
‘rsatilsin.
9.
м х, й у,м .
opera to rla m in g erm itligidan kelib chiqqan holda
M2 opera to m in g erm itligi ко 'rsatilsin.
10.
Agar
A va
в operatorlar o'z-o 'zig a kommutativ operatorlari
bo ‘Isa, и holda quyidagi munosabatlar to ‘g ‘riligi isbotlansin.
2.10. II bobga oid savol va masalalar
„ I
d
,
d
a) — x
= l+x—
-----
Л —
I T A------
f
dx
dx
va
e2' funksiyalarga
86
a)
(л + s )1
= а
1
+
2
АВ+В1;
b)['а+ в){а-в) = а
1
- в 2.
11. Masala. Statsionar holatidagi diskret spektrda joylashgan
zarracha impuls proyeksiyasining
o'rtacha qiymati nolga tengligi
isbotlansin.
Eslatma. H va x operatorlarining kommutatori orqali berilgan px
operatori qiymatidan foydalanish kerak.
Yechish. M a ’lumki,
H x - x f t
= - —pK, shuning uchun
m
p t
=
j y / ' p f\j/dx
=
J
{ф’Нху
- y ' x H y f
)cfc .
Gamiltonianning ermitligi hisobga olinsa integral ostidagi ifodani
quyidagicha yozish mumkin:
хц/Ну'-xy 'H y
=
0 ,
chunki Нцг’ =Ец/’ va Нцг = Ец/.
12. Quyidagi operatorlam ing xususiy funksiyalari va xususiy
qiymatlari topilsin:
a)
- i — ,
agar y(x)=y(x+a) (bunda
a
- o'zgarm as kattalik);
dx
b)
agar
x =
0
va x = l da у =
0
bo'Isa.
dx
13. Masala.
M
2
impuls
moment
kvadrati
operatorining
Y(0,(p)
= (cos0 + 2sm6 coscp)
xususiy funksiyasiga mos kelgan M
2
impuls
moment kvadrati operatorining xususiy qiymati topilsin.
Yechish: M a ’lumki
M 2Y
=
M 2Y
xususiy funksiyalar va xususiy
qiym atlam i aniqlash munosabatdan foydalansak va
mV
1
Э , . -ЭЧ'
1
№
M
-= ~ n
I - r ^ r — (sin g — ) + -
T -
.
J
sin0
дв
дв
sin2 в Э
(p
2
J
ekanligini
hisobga
olinsa,
ushbu
o p era to m i
Y(0,(p) ~(cos6 +2sm6coscp) funksiyaga t a ’siri natijasida
M 2Y - 2 t i 2
(cos0 + 2sin0cos)
kelib chiqadi. Demak, impuls moment kvadrati operatorining xususiy
qiymati M
2
=
2ft2
ga teng bo ‘ladi.
87
14. Masala.
y/(x) — A e 2a
funksiya
orqali
ifodalangan
zarrachaning
koordinatasi
va
impulsining
о ‘rtacha
qiymatlari
aniqlansin.
mos holda zarrachaning koordinatasi va impulsining
о ‘rtacha
qiymatlarini hisoblash mumkin.
D em ak zarracha koordinatasining о ‘rtacha qiymati
x =
0
va zarracha
impulsining о ‘rtacha qiymati p
=
hk
0
ga teng ekan.
15. Kvant mexanikasida sistemaning holati qaysi y o l bilan beriladi?
16. Kvant mexanikasida qanday operatorlar:
a) Koordinata;
b) Impuls;
d) dekart koordinatarida м. impuls momentning proyeksiyasi;
c) sferik koordinatarida M, impuls momentning proyeksiyasi;
f)sferik koordinatarida
M2
impuls momentning kvadratiga
mos
keladilar?
Yechish. M a'lumki,
x = J
\f»\idx va p= jyr'pyfdx form ulalar orqali
f
e °2dx = afn integralni va x = x ,p x =
-
ih
—
ekanligini hisobga olinsa
Эх
x
= |л|2 J
xe dx = \Л\" I x a f n '^ - a f K
j <&i = |л)2 - 0 = 0
va
natijaga kelinadi
,
chunki
j
Af
=—
7
^.
ау/л
I l l bob
VAQT 0 ‘TISHI BILAN HOLATLARNING 0 ‘ZGARISHI
3.1. Shredinger tenglamasi
Avvalgi boblarda, zarrachaning biror vaqt momentidagi to ‘Iqin
funksiyasi m a iu m b o ig a n holda, uning shu momentdagi har qanday
fizik kattalikning ehtimollik taqsimotini aniqlash mumkin deb gap
yuritgan edik. Lekin hozircha eng m uhim narsani, y a ’ni vaqt o lis h i
bilan to iq in funksiyasining o ‘zgarishini va shu bilan birga fizik
kattalikning ehtimollik taqsimotlari vaqt davomida qanday o ‘zgarishini
bilmaymiz. Aniqki, zarracha holatining vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishi, unga
ta ’sir qiluvchi kuchga b o g iiq b o iis h i kerak. Shuning uchun kvant
m exanikasida
to iq in funksiyasini vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishini
boshqaruvchi,
klassik mexanikadagi Nyuton qonunlaridek, dinamik
qonun topish
zarur. Shu sababli, klassik mexanikaning asosiy
prinsiplarini yana bir marta eslab o lis h ortiqchalik qilmaydi. Klassik
m exanikada zarrachaning holatlarini ta ’riflovchi fizik kattaliklar ichida
koordinata va impuls alohida rol o ‘ynaydi. Sababi, bu kattaliklam ing
biror vaqt momenti uchun berilishi, zarrachaning
keyingi harakatini
to liq aniqlab beradi, bu esa bevosita Nyuton qonunlaridan kelib
chiqadi:
ф = р = _Э1/(г)
dr_ =
£
d t
Эг ’
d t
m '
Bu tenglamalardan ko‘rinib turibdiki,
r
va
p
kattaliklam ing vaqt
bo'yicha o ‘zgarish tezligi shu kattaliklam ing o ‘zi bilan aniqlanar ekan.
Aynan shu b o g la n ish tufayli zarrachaning turli vaqtdagi holatlari
orasidagi sababiy b o g lan ish mavjuddir. Yana shuni aytish kerakki,
klassik mexanikada zarrachaning holati
r
va
p
kattaliklar bilan to liq
aniqlanadi, ya’ni bu ikki kattalikni biror m om entda berilishi ulam i
istalgan m omentda bir qiymatli aniqlash uchun yetarlidir. Shuning
uchun ham barcha fizik kattaliklar shu asosiy kattaliklar orqali
ifodalanadi.
Kvant m exanikasida esa zarrachaning holati to iq in funksiya orqali
to liq aniqlanadi. Agar tabiatda haqiqatan ham zarrachaning turli
momentdagi holatlari orasida sababiy b o g lan ish m avjud b o is a , bu hoi
89
to ‘lqin funksiyasining vaqt bo ‘yicha o ‘zgarishi orqali ifodalanishi kerak.
M atem atik jihatdan
y/(x,o)
va
yU,t)
to iq in funksiyalari orasida
b o g ianishn i aniqlash lozim va kvant mexanikasida ushbu bo g ian ish
sababiyat prinsipining talabidan kelib chiqadi.
Berilgan
Do'stlaringiz bilan baham: |
