Nazariy fizika kursi

J 2
= — [ ? 
e~r rdrdtp
= — 
w о 0
natijaga kelinadi. Demak qidirilayotgan integral 
J =
-1 
V 
a
(C.2)
bo‘ladi.
Navbatdagi
Л» = 
] e ~ x2x 2ndx
— 
oo
ko‘rinishdagi integral hisoblanadi. (C.2) formuladagi integralni 
a
- 
parametr bo‘yicha differensiallansa, quyidagi natijalami olish mumkin:
•Л =
J e~x x 2dx = — J ~ r ,
x 
-
3
J 4 — 
J
e~x x 4dx
= —
Jin
=
f
e - s2x lndx
=
^2n 
l ^ 2n
Ё
ln 
J
in 
\
„.2 
n-
^ 2"+1
Endi
340

---

J 2n+^ } e - ° - x x 2n+ldx
0
ko‘rinishdagi integralni hisoblash masalasini ko‘rib chiqaylik. 
n = 0
bo‘lganida
2 a
J 0 = j e ш xdx
=
о
teng bo‘ladi. 
a
-parametr bo‘yicha 
J,
ni differensiallansa.
n\
J
2
n+\ = je~'a ' x 2nridx = -
2 a n+l
natija olinadi.
D ilova
Yim
 (e - 
Ф)
tipidagi sferik funksiyalar
M2 impuls moment kvadrati operatorining xususiy qiymatlarini 
topish 
masalasida 
sferik 
funksiyalar 
uchun 
yozilgan 
ushbu 
tenglamalariga duch kelinadi:
1 
д ( .
1 
a V
,
————
—\ s m f l
—— и ----- —------
7- + Jti> = 0.
(D ll
sm 
в Ъ в \
д / 9 /
sm 
~ в Ъ<р
Ushbu ilovaning asosiy maqsadi yuqoridagi tenglamaning xususiy
funksiyalarini aniqlash, ya’ni 
в
va
0 < 9 < n ,
0 < 
(p < 2
k
o ‘zgarish sohasida uzluksiz, bir qiymatli va chekli
yechimlarini topishdir.
Dastawal 
в
va
\1/ = © ( в ) Ф ( ( р )
(D2)
(D2)ni (D l)ga qo'yganimizda o‘zgaruvchilami ajratishga olib keladi 
agarda
341

---

d 2
Ф 
d(p2
=
- m Ф
qabul qilinsa.Bu tenglamadan 
Ф 
m(

im

(D3)
(D4)
yechim kelib chiqadi. 
Ф т
funksiya 
(p
ning bir qiymatli funksiyasi 
bo‘lishi uchun
m = 0, ±1, ± 2, . . . 
( ° 5)
qiymatlami qabul qilishi kerak. 
(D4) yechimni (D l) tenglamaga 
qo‘yilsa va olingan natijani Ф ш ga bo‘linsa, 0 funksiyasiga nisbatan 
quyidagi tenglama hosil qilinadi:
1
Э 
( .
 
Э 0 ^ 
m2
s in 0 —
------ -—
i 
Э0 J sin2 e
0 + A 0 = 0
(D6)
sin0 
д в
0 funksiyasiyaning 0 o‘zgaruvchisi o ‘rniga yangi o ‘zgaruvchini 
kiritsak, ya’ni
= c o s 0 , - 1 < £ <+1, 
dE,
= - sin 0 
dO
(D7)
bo‘lsa, u holda 0 funksiyasiy 
^
o'zgaruvchining funksiyasi sifatida 
qarash mumkin.U holda (D6) tenglamaning o ‘miga quyidagi tenglama 
olinadi:
( l - < f 2) 0 " - 2 ^ 0 ' +
A —
m
.2
 
\
0
=
0
.
(D8)
l - < ? 2
(D8) tenglamaning 0
yechimlarini 
? = ±1 maxsus 
nuqtalar 
atrofida ko‘rib chiqaylik. 
Avvalo 
<■>-+! 
murojaat 
qilinadi.
yangi o‘zgartuvchini kiritaylik. U holda (D8) quyidagi 
tenglama olinadi:
z z + 2
A
m
0
=
0
.
(D9)
^ z ( z + 2) ' z 2( z
+ 2)2 
0 ni yechimlarini 
z
ning darajalari bo‘yicha qator shaklda izlanadi:
© = 
z 7v, v = a0 + a xz + a2z 2 + . . , + a v z v + . . .
(DIO)
342

---

Birinchidan у ning darajasini aniqlab olish zarur, chunki qator bu 
darajadan boshlanishi kerak. 
z —> 0 da
в
= 
a0z 7
у —2
bo‘ladi. Olingan yechimni (D9) tenglamaga qo‘yilsa va 
darajaga
nisbatan cheksiz kichik darajali kattaliklami hisobga olinmasa, (D9) 
tenglamadan
2"
a0z f ~ 2 =
0
ni hosil qilinadi va bu ifodadan
Y = + E
 
(D11)
2
natija kelib chiqadi. У ning shu qiymatini 
С 
= - 1 maxsus 
nuqta
atrofidagi yoyilmasini olganida ham olish mumkin.Olingan yechimlar 
£ = ±1 da chekli bo‘lishlari uchun (DIO) yoyilmada
\ m\
 
(D12)
2
_ 
m 
_
m
boiishi kerak, ya’ni m > 0 da 
Y 
va m
< O bo lg anida/ ~ 
j"
boiishi kerak. (D ll) dagi ikkinchi yechim cheksizlikga teng boiadi. 
Shunday qilib, © funksiyani
H
(D13)
0 = ( l - £ 2) 2 v
ко‘rinishida olish mumkin, bunda v ni 
z
ning darajalari bo‘yicha qator 
shaklida qarash kerak.Yechimni izlashda davom ettirishda vni 
£ lar 
b o icha qator shakilda qidirish ancha qulaylikga olib keladi, ya’ni:
v = i > , r .

«-=0
(D13) ni (D8) tenglikka qo‘yilsa
(1 
- ^ 2 ) 
v" —
2(| 
m
| + l)£v' + (A - 
j 
m \ - m 2 ) v
=
0 
^ 
^
343

---

ifoda olinadi. Bu tenglikga (D14) dagi qatorni qo‘yilsa va £ ning bir 
xil 
darajalari 
oldidagi 
koeffltsiyentlami 
tenglashtirilsa, 
t\,
koeffitsiyentlami aniqlovchi rekurrent formula hosil qilinadi:
(v +2)(v + 
1
)£v
+ 2
=[v(v — 1) + 2(| 
m
| + l)v - A+1 
m
| 
+ m 2 ]hy
Agarda v = 
k
(D14) dagi qator v = 
к
raqamli qandaydir sonda uzilsa, u 
holda v kattalik /c-darajadagi ko‘phad bo‘ldi. Demak, (D13) ifoda (D l) 
tenglamaning uzluksiz, bir qiymatli va chekli yechimlari, yoki (D l) 
tenglamaning xususiy funksiyalari bo‘ladi.
(D16) tenglikdan ko‘rinib turibdiki bu qator faqat
к ( к - 1 ) + 2 ( \ т \ + \ ) к - к + \ т \ + т
2 = О 
teng bo‘lganidagina uzilishi mumkin. Demak,
Х = ( к + \ т \ ) { к + \ т \ + \ )
 
(017)
bo‘lishi kerak. Agarda
k + \ m \ = l
 
(D 18)
deb qabul qilinsa, A va 
m
kattaliklar uchun qo‘uidagi qiymatlami qabul 
qilinishini ko‘rish mumkin:
A = / (/ +1), / = 0,1, 2 ,3 , . . .
(D19)
\ m \ = 0 ,
1, 2, . . . , / 
(D20)
Yuqoridagi olingan munosabatlardan shuni aytish joizki (D l) 
tenglamaning boshqa xususiy funksiyalari mavjud emas.
Kiritilgan 
I
va 
m
xarakteristik 
sonlarga 
tegishli 
bo‘lgan 
0 yechimlami
0 ( € ) = Р/М ( € ) , € = cose 
(D21)
orqali 
belgilanadi. 
Agarda 
(D15) 
tenglamani 
С 
bo‘yicha 
differensiallansa I 
m
| o ‘miga | 
m
j +1 qatnashadigan tenglama hosil
qilinadi. Shuning uchun, 
m - 0
dagi yechimni 
) orqali belgilansa,
u holda
M
j
!»!
i f !(- £ 2) 2
(D22)
344

---

yechimni olish mumkin. Bunda 
Pi
(<§) kattalik 
I
darajaning Lejandr 
ko‘phadi, 
yoki 
polinomi, 
deyiladi. 
Ushbu 
polinom 
oldidagi 
koeffitsiyentni shunday normallashtiriladiki
Pl(
 1) = 1 
(D23)
boiish i kerak. (D16) tenglamadan | 
m
|= 0 bo‘lganida 
, 
v (v +
1) 
— / (/ +
1 )
,
K + 2 =
 
------ ----- ------
К
 
(D24)
(v + 2)(v +1) ^
1 
’
ifoda olinadi. Ushbu hosil bo‘lgan ifodadan quyidagi natijalar kelib 
chiqadi: agarda 
bQ
*0 va 
&i=0qilib tanlab olinsa, u holda 
Р/
ko‘phad 
ь
ning faqat musbat darajalaridan tashldl topgan bo‘ladi, 
agarda 
b0 =
0 va 
bx Ф
0 bo‘lsa, u holda 
P,
faqat toq darajalaridan tashldl 
topgan bo‘ladi. / ning musbat qiymatlari berilganida 
b0
ni tanlab 
olihsa, yoki 
I
ning toq qiymatlari berilganida 
b\
ni tanlab olinsa, 
Pt
ko‘phadning 
barcha koeffitsiyentlami hisoblash imkoniyati paydo 
bo‘ladi. Ushbu hisoblashlarda faqat (D23) tenglikni bajarilishini esdan 
chiqarmaslik kerak. Shunday qilib, 
olinadigan ko‘phad quyidagi 
formula orqali berilishini tekshirish qiyin yemas:
P? & ) = № ) = -
T - 4 / -
2 ~ I)' 
(025)
2 l - l \ d £ l
(D2), (D4) va (D21) ifodalar hisobga olinsa, (Dl) tenglamaning 
quyidagi ko‘rinishdagi xususiy funksiyasini olinadi:
Ylm(e,

(D26)
bunda 
N[m -
normallashtiruvchi koeffitsiyent. Hisoblashlar natijasida bu 
koeffitsiyentning qiymati
\
(2/ + 1) 
lm 
]/ 
( l + \ m \ ) \ 4 n
ga teng bo‘ladi. Hosil bo‘lgan (D26)dagi funksiyalar 
d,(p
sfera sirtida
ortogonal funksiyalaming to ‘liq sistemasini tashkil etadi. Shuning
uchun, 
ixtiyoriy 
kvadratik 
integrallovchi 
va 
bir 
qiymatli 
у/(в,(р)
funksiyani
345

---

00 
+/
У(в,<Р) = Х £
clmYlm{d,

l
~ 0 
m=—l
qator shaklida ifodalash mumkin, bunda
Jt 2n
clm
 = |
fv(0>
0 0
ga teng.
(D29)
(D28)
346

---

FOYDALANILGAN 
a d a b i y o t l a r
1. 
Б ло х т це в Д.И-
Основы квантовой механики - М., 1983.
2. 
Левич В.Г., Вдовин Ю.А., Мямлин В.А.
Курс теоретической 
физики. Т.2. М > 1971.
3. 
Landay L.D., Lifshis Y.M.
Nazariy fizika qisqa kursi. T.2. Kvant 
mexanikasi. Toshkent, 1979.
4. 
Савельев И.В-
Основы теоретической физики. Т.2. Квантовая 
механика. М-> 2005.
5. 
Л ан дау Л.Д-, Лнфшиц Е.М.
Теоретическая физика. Т.З. 
Квантовая механика. Нерелятивистская теория - М., 1989.
6. 
Гречко А.Г., Сучаков В.И., Томашевич О.Ф., Федорченко А.М.
Сборник 
задач 
по теоретической физике. - М., Просвещение, 
1979.
7. 
Серова Ф.Г, Янкина А.А.
Сборник задач по теоретической 
физике. - М., Просвещение, 1979.
8. 
Vakil R.X.
Kvant mexanikasiga kirish. 
0 ‘quv qo‘llanma. 
“Oqituvchi”, 1989 Й.
9. 
Д а вы д о в А. С.,
Квантовая механика - М., Наука, 1973.
10. 
Qodirov О., Boydedayev A.,
Fizika kursi. Kvant fizika. 0 ‘quv 
qo‘llanma. - Т., 2005.
11. 
Галицкий ВМ-, и др.
Задачи по квантовой механике. Учебное 
пособие - М - Наука, 1973.
12. 
Мессиа А.
Квантовая механика - М., Мир, Том 1. 1978, Том 2. 
1979.
13.