Nazariy fizika kursi

n
soni 
juft bo‘ lsa, olingan polinomlar juft bolishadi, agarda 
n
soni toq bo‘ lsa 
bu polinomlar ham toq boiadi. Parametr A 
= 2n + \
bo‘ lganida 
matematikada Ermit polinomlari bilan nomlangan 
n jg>
polinomlar 
uchun (4.57) differensial tenglama hosil qilinadi: 
d : l t „ _ 2 c dH
dt,1 
dE,
Ermit polinomlarini 
e~s "1Si
funksiyani 
S
bo‘yicha qatorga yoyilganda 
hosil qilish mumkin, ya’ni:
G (Z ,S ) = e ^ s^
= £ - 4 ^ ^
(6-51)
va bu 
G (q ,S )
funksiyani 
hosil qiluvchi funksiya
deyiladi. Endi (6.51) 
yoyilma 
asosida 
tu zilgan #„(£) polinomlar 
(6.50) 
differensial 
tenglamani qanoatlantirishi ko‘ rsatiladi.
Avvaio (6.51) tenglama § bo‘yicha differensiallanadi, u holda
2Se~s4lsl
=
2 S Y H ,:^ ) S "
= 
S "
^
n\ 
^
n\
ifodaga kelinadi. Bu yerda shtrix orqali Ermit polinomidan uning
argumenti bo‘ yicha olingan hosilasi belgilangan. 
S
ning bir xil darajalari
b o‘ yicha lcoeffitsiyentlar tenglansa, birinchi rekurrent munosabatga
kelinadi:
H'„
(£) = 2n#„_,(4) 
(6.52)
Ikkinchi rekurrent munosabatni chiqarish uchun (6.51) qatomi S 
bo‘yicha differensiallash kerak, ya’ ni
(2c - 2
S )e s
= Z
,-----
(6.53)
n=0 
П‘
b o‘ ladi va (6.53) ning chap tomoni ochib chiqiladi, u holda (6.50) dan 
foydalanilsa quyidagi
(24 - 2 S)e~s^ 2s? = y f 2 и -  
2 H " 
и! 
n\
tenglikka kelinadi. Demak, (6.53) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
187

---

н„ ( i )
ря+1 , .
н п ( f )
\ 
^
Н„
G
i)nS
у _
2
- ^ ^ г
+1
+
2
— й^ 1 / 5 ,и = Y