Nanolazerlar

7. Kvant simlar

Ikki o’lchovli elektron gazi modeli bir o’lchovli elektron gazi modeliga oson o’tishga imkon beradi, chunki bu yerda elektronlar harakati ikkita yo’nalishda (x va u) chegaralangan, ular faqat z yo’nalishida harakatlanashi mumkin. Bu harakat elektromagnit to’lqinning harakatiga o’xshaydi.

Harakatni cheklovchi potensialning ko’rinishi V=V(r) shaklda va Shredinger tenglamasini yechish uchun o’zgaruvchilarni ajratish metodini qo’llaymiz. To’lqin funksiya uchun

(r) = ye^ikzi(r), (14)

ifodani yozishimiz mumkin, bu yerda i(r) quyidagi Shredinger tenglamasini yechish orqali aniqlanadi:

Kvant simdagi elektronlar uchun to’la energiya:

ko’rinishda bo’ladi, bu yerda ohirgi had elektronlarning z o’qi bo’ylab harakatlanishidagi kinetik energiyasi. Misol sifatida, ikki o’lchovli cheksiz uzunlikdagi potensial uchun energiyani hisoblashni ko’rib chiqamiz. Potensialning ko’rinishi

V{x,y) = 0, 0axi y<0, u>au9 (17)

Bu potensial uchun ruxsat etilgan energiyaning qiymatlari:

Aylana kesimli o’tkazgich tsilindrik koordinatalar sistemasida ko’rib chiqilganda uning yechimlari Bessel funksiyalari orqali ifodalanadi. Umuman aytganda, kvant simlardagi ko’ndalang harakatni ifodalovchi energetik sathlar ikkita kvant sonlar bilan, ya’ni k fazoda bir o’lchovli parabolik zonachalar tubi uchun energiyaning muayyan qiymatlariga mos n₁ va p₂ lar bilan tavsiflanadi. Energetik sathlarning qiymatlari kvant simlar qalinligi kamayishi bilan ortadi.

Bir o’lchovli elektron gazining holatlar zichligi masalasini ko’rib chiqamiz. Holatlar kotsentratsiyasi (energiyaga bog’liq holda) to’lqin soni bilan

N_1D(E)E = n_1D(E)dE/dkk = 2 n_1D (E)k (19)

ifoda orqali bog’langan, bu yerda 2 koeffisiyent elektronlarning sim bo’ylab ikki tomonga harakatlana olishini bildiradi. Bir o’lchovli xol uchun umumlashtirib, holatlar zichligi 1/2 ga tengligini ko’rsatish mumkin. Bu qiymatni (19) ga qo’yib va E= h²k²/2m* ni hisobga olib

(20)

ifodani hosil qilamiz. Ko’rinib turibdiki, u E = 0 bo’lganda uzoqlashadi.

Gruppaviy tezlik haqidagi (2.52) ifodani hisobga olib, oxirgi ifodani

(21)

ko’rinishda yozish mumkin. Bu ifodadan bir o’lchovli sistemada tok doimiy va uning qiymati tezlik va holatlar zichligiga proportsional ekanligi kelib chiqadi.

(20) teglamadan shuningdek, to’la holatlar zichligi ifodasini olish mumkin:

Bir o’lchovli sistema uchun holatlar zichligi funksiyasi 7-rasmda tasvirlangan, uni uch o’lchovli sistema uchun holatlar zichligi parabolik funksiyasi bilan taqqoslash mumkin. Bu ikki funksiya orasidagi asosiy farq zona tubiga mos keluvchi energiya zonachalarida bir o’lchovli sistemaning holatlar zichligi funksiyasi uzoqlashuvchi bo’lib, kvant simlarning asosiy xarakteristikalaridan biridir.

19-rasm