Namangan davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

BOSH IDEALLAR HALQASI. YEVKLID HALQASI.

BOSH IDEALLAR HALQASI

Ma’lumki, butun sonlar halqasi elementlari uchun eng katta umumiy bo’luvchi (EKUB), eng kichik umumiy karrali (EKUK), murakkab va tub sonlar, istalgan murakkab sonni tub sonlar ko’paytmasi shaklida yozish kabi tushunchalar mavjud edi. Bunday tushunchalar istalgan halqa elementlari uchun ham o’rinli bo’lavermaydi. Bu tushunchalar faqatgina bosh ideallar halqasi deb ataluvchi halqa elementlari uchungina bajariladi.

1. 
   ta’rif. Har bir ideali bosh idealdan iborat bo’lgan halqalar bosh ideallar halqasi deyiladi.
   

Misollar. 1. Har qanday P maydon bosh ideallar halqasi bo’ladi. Chunki

maydon faqatgina ikkita idealgq ega. Ular
(0) _va
^{(e) } P bosh ideallardir.

2. Butun sonlar halqasi bosh ideallar halqasidir.

2. 
   ta’rif. Agar birrlik elementga ega P butunlik sohasi berilgan bo’lib, uning
   

barcha elementlari manfiymas butun sonlar to’plami



N
₀ ga bir qiymatli

akslantiruvchi shunday ^ akslantirish mavjud bo’lsaki, uning uchun quyidagi shartlar bajarilsa, ya’ni

1. 
   P ning istalgan ^a va ^b elementlari uchun shunday bir juft elementlar topilsaki, ular uchun
   

q, r  P

tenglik o’rinli;

a  tq  r
(1)

2. 
   (1) tenglikda
   

r  0
yoki
 (r)   (q)
bo’lsa, u holda H butunlik

sohasi Evklid halqasi deyiladi.
Misollar. 1. Z halqa Evklid halqasi bo’ladi. Haqiqatan,


^{x  Z} va

 (x) | x |
desak, Evklid halqasi ta’rifidagi ikkita shart bajariladi.

2. Har qanday maydon Evklid halqasi bo’ladi.

1. 
   teorema. H bosh ideallar halqasining kamida bittasi noldan farqli
   

bo’lgan
a₁ , a₂ ,…, a_n
elementlari uchun EKUB mavjud va u birning

bo’luvchisi ko’paytmasi aniqligida yagonadir. elementlarning EKUBi bo’lishi uchun
d  H
element
a₁ , a₂ ,…, a_n

a₁  dq₁ (i  i, n)
(2)

d  a₁r₁  a₂ r₂  a₃ r₃ …  a_nr_n
(3)

tengliklar H halqaning ba’zi bir uchun bajarilishi zarur va yetarli.
q₁ , q₂ ,…, q_n
va r₁ , r₂ ,…, r_n
elementlari

Isboti. 1. Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik, H halqaning biror A qism
to’plami elementlari (3) ko’rinishga ega bo’lsin. Bunday holda A ideal ekanligi bizga ma’lum. H halqa bosh ideallar halqasi bo’lgani uchun har bir

ideali, shu jumladan, A ham bosh iedaldir. Demak, shunday