Namangan davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

GOMOMORF VA IZOMORF HALQALAR
Ta’rif. A va B halqalar elementlari orasida biror moslik o’rnatilgan bo’lib, bu moslik bir qiymatli bo’lsa hamda quyidagi shartlar bajarilsa A halqa B ga gomomorf (izomorf) deyiladi:

1. a,b  A, a^,b^  B
2. a,b  A,a^,b^  B
a ^  a^ 
a ^  a^ 
b ^ b^ 
b ^ b^ 
a  b ^  a^  b^; ab ^  a^b^.

A halqaning B halqaga gomomorfligi (izomorfligi) belgilanadi.
A □ B
( A  B)
kabi

1-teorema. Ixtiyoriy H halqa va qo’shish hamda ko’paytirish amallari

aniqlangan K ^ to’plam uchun H □ K^
bo’ladi.
bo’lsa, u holda K ^ to’plam halqa

Isboti. Teorema sharti bo’yicha H □ K^ bo’lib, H halqadir. K ^ da ikkita
algebraik amal aniqlangan va yopiq bo’lsin. Biz K ^ ning ham halqa
ekanligini ko’rsatishimia kerak. Buning uchun K ^ dan ixtiyoriy uchta a^, b^, c^

elementlarni olib, ular uchun ham halqaning barcha aksiomalari o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.
Biz shulardan quyidagi ikitasini keltiramiz:

1. 
   a^  (b^  c^)  a^  b^  a^  c^ - ko’paytirishning qo’shishga nisbatan
   

distributivligi.

2. 
   a^  x^  b^ tenglamaning yechimga egaligi.
   

1. 
   H halqa bo’lgani uchun
   

a(b  c)  ab  ac
shart bajariladi.

a ^  a^, b ^ b^, c ^ c^ bo’lsin. Bu moslik H ning K ^ ga gomomorfligiga

asosan qo’shish va ko’paytirishda ham saqlanadi. Shuning uchun

(a ^ a^)  (b ^b^)  (c ^c^)  (a(b  c)  ab  ac)  a^  (b^ c^) 
 a^  b^ a^ c^.

2. ^{(a  a)  (b  b)  (x  x)  (a  x  b)  (a  x  b)}
(x  H
, x^ K ^) .

Boshqa aksiomalar ham xuddi shu usulda isbotlanadi. Demak, K ^ to’plam halqa ekan.
2-teorema. H halqa bo’lib, K ^ ga gomomorf bo’lsa,
1. ( ^  ^)  ((a)  (a)^) (;  a H , 0^;a^  K ^).

2. 
   H birlik elementga ega bo’lsa, K ^ ham birlik elementga ega bo’ladi va
   

e ^  e^
(e  H , e^  K ^)
bo’ladi.

2. 
   HALQA IDEALLARI
   

Biz yuqorida qism halqa tushunchasi bilan tanishdik. H halqaning biror H qism to’plami H ning qism halqasi bo’lishi uchun H to’plam a va b elementlar bilan birgalikda ularning ayirmasi va ko’paytmasini ham o’z ichiga olishi zarur va yetarli edi. Endi qism halqa tushunchasini aniqlovchi

ikkinchi shart, kiritamiz:
(a, b  H  a  b  H )
ni biroz o’zgartirib quyidagi tushunchani

1. 
   ta’rif. Agar H halqaning biror bo’sh bo’lmagan I qism to’plami uchun
   

quyidagi ikkita shart bajarilsa, ya’ni

1. 
   a, b  I  a  b  I ;
   

2. 
   r H
   

a  I  ar  I

bo’lsa, u holda I to’plam H halqaning o’ng ideali deyiladi.

2. 
   ta’rif . Agar 1-ta’rifdagi a) shart bilan birgalikda
   

3. 
   r H,
   

a  I  ra  I

bo’lsa, u holda I to’plam H halqaning chap ideali deyiladi.

2. 
   ta’rif. Agar a),b),c) shartlar bajarilsa, ya’ni I ideal halqaning chap va o’ng ideali bo’lsa, u holda I to’plam H halqaning ideali deyiladi.
   
3. 
   ta’rif. H halqaning a elementiga karrali bo’lgan barcha elementlar
   

to’plami H halqaning bosh ideali deyiladi va u
(a)
orqali belgilanadi.

Yuqoridagi ta’riflardan ko’rinadiki, berilgan halqaning har qanday ideali shu halqa uchun qism halqa bo’ladi. Lekin, bu tasdiqning teskarisi o’rinli bo’lmasligi mumkin. Masalan, Z to’plam Q halqa uchun qism halqa, lekin ideal emas. Chunki istalgan r ratsional son uchun ra butun son bo’lmasligi mumkin.
Misollar. 1. Ixtiyoriy H halqaning o’zi va uning {0} qism to’plami H halqa uchun ideal bo’ladi. Bu ideallar odatda trivial yoki birlik va nol ideallar deb yuritiladi hamda ular mos ravishda ( e ) va (0) kabi belgilanadi. H halqa boshqa ideallarga ega bo’lsa, ular notrivial ideallar deb yuritiladi.

2. 
   Butun sonlar halqasini istalgan butun songa (noldan tashqari) karrali bo’lgan qism to’plamlari butun sonlar halqasining ideallari bo’ladi.
   
3. 
   Ixtiyoriy H halqa berilgan bo’lsin. Bu halqadan biror a va ixtiyoriy
   

r elementlarni olib, belgilaylik, ya’ni
ra  na
ko’rinishdagi elementlar to’plamini
(a)
kabi

(a) = ^{{ra  na | a  H , n  Z}.}

(a) to’plam H halqaning chap ideali bo’ladi. Haqiqatan,

a) (r₁a  n₁ a)  (r₂ a  n₂ a)  (r₁  r₂ )a  (n₁  n₂ )a  ra  na  (a).
Bunda

r₁  r₂  r, n₁  n₂  n deb olindi.

b) s  N
va ra  na (a)
uchun

s(ra  na)  sra  sna  (sr  sn)a  r' a  0  a  (a).
Bunda
r'  sr  sn .

Shunday qilib, bajarilar ekan.
(a)
to’pmlam uchun ideal bo’lishning ikkala sharti ham

(a) ideal odatda H halqaning a yordamida hosil qilingan chap ideali

deb yuritiladi.

ra  na yig’indidagi na ko’paytmani har doim ham H halqa ikkita
elementining ko’paytmasi deb qarash mumkin emas, chunki bu yerda n butun son bo’lgani uchun har doim ham H ga tegishli bo’lavermasligi mumkin .
Darhaqiqat, bunday paytda
ra  na  ra  n  ea  (r  ne)a  r' a

bo’lib,
c)
r'  r  ne  H
{a₁ , a₂ ,. , a_k }
bo’ladi.
to’plam H halqaning biror qism to’plami bo’lsin. Bu

qism to’plamning elementlari yordamida quyidagi to’plamni tuzamiz:
A  {r₁a₁  r₂ a₂  ……  r_k a_k  n₁a₁  n₂ a₂ ……  n_k a_k | r_i , a_i  H , n_i  Z , i  1, k}.
Bevosita tekshirish natijasida A to’plam H halqaning chap ideali ekanligiga ishinch hosil qilamiz.
Haqiqatan,

a)
(r₁a₁  r₂ a₂ ……  r_k a_k  n₁a₁  n₂ a₂ ……  n_k a_k )  (r₁a₁  r₂ a₂ ……  r_k a_k  n₁a₁  n₂ a₂
……  n_k a_k )  (r₁  r₁ )a₁ …  (r_k  r_k )a_k  (n₁  n₁ )a_k …  (n_k  n_k )a_k  A

2. 
   s  H
   

s(r₁a₁  r₂ a₂ ……  r_k a_k  n₁a₁  n₂a₂ ……  n_k a_k )  (sr₁ )a₁ …  (sr_k )a_k  n₁ (sa₁ ) …

• 
  n_k (sa_k )  A
  

shartlar bajarilgani uchun yuqoridagi usulda aniqlangan A to’plam a₁ , a₂ ,. , a_k

elementlar yordamida hosil qilingan chap ideal bo’ladi va u ( a₁, a₂ ,. , a_k )

kabi belgilanadi . yuritiladi.
a₁ , a₂ ,. , a_k
esa ( a₁, a₂ ,.........., a_k ) idealning bazisi deb ham

Agar berilgan H halqa birlik elementga ega bo’lsa, u holda ushbu tenglik
o’rinli:
r₁ a₁  r₂ a₂  ……  r_k a_k  n₁a₁  n₂ a₂ ……  n_k a_k  r₁a₁  r₂ a₂ ……  r_k a_k  n₁ea₁ 

n₂ ea₂ …  n_k ea_k
 (r₁  n₁e)a₁  (r₂  n₂ e)a₂  …  (r_k  n_k e)a_k
 r₁a₁  r₂ a₂  ……  r_k a_k ,

bu yerda r_i  n_ie  r_i (i  1, k)

Demak, H halqa birlik elementga ega bo’lganda ( a₁, a₂ ,.........., a_k ) idealni

aniqlash uchun
r₁a₁  r₂ a₂ ……  r_k a_k
ko’rinishdagi yig’indilar to’plami bilan

chegaralanish mumkin ekan. Misollar.

1. 
   misol. Z[i]
   

Yechimi:
halqada
J  {a  bi a,b  2}
to’plam ideal bo’ladimi?

1 ) a₁  b₁i,
a₂  b₂i  J₁
(a₁  b₁i)  (a₂  b₂i) 

 (a₁  a₂ )  (a₂  b₂ )i  J ;

2) a

• 
  b i  J ,  c  di Z[i],(a  b_ii)(c  d_ii) 
  

 (ac  bd )  (bc  ad )i  J .

demak, J to’plam Z[i] halqada ideal bo’ladi(kommutativ halqaning ta’rifiga ko’ra).

 ^{a b} 

2. 
   
   
   misol.
   

^ b
 , bu yerda
a _
a, b  Z ,
ko’rinishdagi matritsalarning
M ₂ to’plami

barcha ikkinchi tartibli matritsalar halqasida qism halqa bo’ladimi yoki ideal bo’ladimi?

Yechimi. Aytaylik
_ a b _{ } c d _

^  b
^ , ^
a  d
_c ^ M ₂ ,

bo’lsin. U holda:



 ^{a b} 

 

 ^{c d} 



 ^{a  c b  d} 

1)  _{ b}
  
a  d
  
c  (b  d )
_{a  c} M ₂ ;

  
 ^{a b}   ^c

^d  

ac  bd

^{ad  bc}

2) ^ _{ b}
^^
a  d
^ ^
c  ad  bc
ac  bd ^{  M 2 .}

     

Javob.
M ₂ ikkinchi tartibli matritsalar halqasida qism halqa bo’ladi, biroq ideal

bo’lmaydi. 4-misol.
^Z16
halqaning teskarilanuvchi bo’lmagan elementlari to’plami shu

halqada qism halqa bo’ladimi yoki ideal bo’ladimi? Yechimi:

Z₁₆  {0,1,……,15}.
a teskarilanuvchi emas  ( a ,16)  1.
^Z16
halqaning barcha

teskarilanuvchi bo’lmagan elementlari to’plamini J bilan belgilaylik:


J  {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.
J – ideal bo’ladi, chunki:


1) a₁  a₂  a₁  a₂  J ;

2) a  J , x  Z₁₆ ,



a  x J .

J  (2)  Z₁₆ halqada bosh ideal bo’ladi.
5-misol .

^Z24
halqaning teskarilanuvchi bo’lmagan elementlari to’plami shu halqada

qism halqa bo’ladimi yoki ideal bo’ladimi?

Yechimi:



^Z₂₄ ^{ {0, 1, ……, 23}} . a teskarilanuvchi emas
 (a , 24)  1.

Aytaylik



J  {0, 2, 3,……, 22}.

10. 
    ^Z 24
    

halqada ideal bo’lmaydi, ideal ta’rifidagi

birinchi shart bajarilmaydi, masalan: 3  2 J .