N. R. Yusupbekov, D. P. Muxitdinov texnologik jarayonlarni modellashtirish va

k  hodisalarni 

sodir  bo‘lish  ehtimolligi 

t  vaqt 

momentigacha  nechta  hodisalar  sodir  bo‘lganga  bog‘liq  emas 

(amaldan  keyingi  hodisalar  yo‘qligi  gipotezasi);  berilgan  vaqt 

oralig'ida ma’lum  sonli  hodisalarni  sodir bo‘lish  ehtimolligi  nafaqat 

oraliq  uzunligiga,  balki  vaqt  o‘qida  uning  holatiga  ham  bog‘liqdir 

(oqimning  nostatsionarligi  gipotezasi).  Shunday  oqimning  asosiy 

sonli  tavsifi  oniy zichlikdir  (yoki  oqimning jadalligi),  (t,  t  +At)  vaqt 

uchastkasida 

bu  uchastkaning  uzunligiga  hodisalaming  o‘rta 

sonining nisbatini  limiti, qachon oxirgisi nolga intiladi:

a

/ - >

o

 

A t 

dt

(2.506)

bunda,  m(t)  -  (0,  t)  uchastkada  hodisalar  sonining  matematik 

kutilmasi.

Shunday  qilib,  topilgan  tasodifiy  hodisalarning oqimi  nostatsio- 

nar Puasson oqimi deb ataladi.  Bunday oqim  uchun  (f

0

,f)uchaskada 

paydo bo‘layotgan hodisalar soni Puasson qonuniga bo‘ysunadi:

C ^ k

f>

k(tod) = - ~ QXP(~ala,t)(k = 0.1.2...) 

(2.507)

K

bunda,  Pk(t0,t ) - ( t 0t)  intervalda  k  hodisalami  paydo  bo‘lish 

ehtimolligi:

179

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

teng

aloJ  = 

°j;

l(4)d4 

(2.508;

Belgilaymizki,  nostatsionar  Puasson  oqimi  uchun 

al0l

 

kattalih 

nafaqat  (t0,  t)  oraliq  uzunligidan,  balki  uning  vaqt  o‘qidagi  holatigi 

bog‘liq  emas.

Endi  nostatsionar Puasson  oqimi  uchun 

r

 

oralig‘i  ikkita qo‘shn 

hodisalar  orasidagi  taqsimlanish  qonunini  topamiz.  Deylik  qo‘shn 

hodisalardan  birinchisi  t

0

  momentida  keldi.  Izlanayotgan  Fh{t) 

taqsimlanish  qonuni  shuning ehtimolligidir,  qaysiki  keyingi  hodisa 

momentdan oldin keladi

Fh (t) = P(

t

 < t) 

(2.509;

Deylik  P (r> t)-  shuni  ehtimolligi,  t0 dan  t0 + 

t

 

gacha  intervalde 

bitta  ham  hodisa  paydo  bo‘hnaydi.  U  vaqtda  oxirgi  bogiiqlikn 

quyidagi  ko‘rinishdatavsiflash mumkin

F!a(t)P(T  t )  

(2.510

P(t>t0) 

hisoblash 

uchun 

k=0 

da 

Puasson 

qonunidar 

foydalanishimiz mumkin:

<

2,0 ,  -   b u   i n t e r v a l d a   h o d i s a l a r  -  s o n i n i n g   m a t e m a t i k   k u tilm a s i.

P(

t

 >t) 

= exp

(~ahJ)

 

= exp(-  |  

A(g)df) 

Bu yerdan topamiz

(2.511

r  'o+l

F,n(t) = 

1

 - exp  -   \M (;)d t

\  'o

(2.512

Bu teglamani differensiallab, taqsimlanish funksiyaning 

zichligini olamiz

p(t)

 = 2(r0  + t) e x p ( -   j  

H£)dZ)

(2.513

180

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

t0 = 0   d a  e g a m i z

t

p(t) = d,(r)exp(-J MEJdE,) 

(2.514)

o

Endi  shundan  madumki,  Puasson  oqimining  taqsimlanish 

funksiyaning  zichligi  uchun  olingan  ifoda  apparatda  oqimning 

bo‘lish  vaqtining  taqsimlanish  funksiyasi  bilan  C(t)  ga  teng  aniq 

mos  keladi.  Faraz  qilamizki,  t=0  momentda  apparatga  kirishda 

suyuqlikning  yoki  gazning  oqimini  ko‘ndalang  kesimida  barcha 

zarrachalarni  qandaydir  usul  bilan  belgilash  imkoni  bo‘ldi.  Fizik 

mazmuni  bo'yicha  tasodifiy  hodisalaming  oqimi,  apparatdan 

chiqishda  nishonli  zarrachalaming  paydo  bo'lishidan  iborat,  barcha 

sanab  o‘ti!gan  gipotezalami  qoniqtiradi  (ordinarligi,  amaldan 

keyingi  hodisalar  yo‘qligi,  nostatsionarligi).  Tyoshdagi  zarra- 

chalaming  ulushi,  qaysilar  apparatni  (f,  t+dt)  vaqt  oralig‘ida  tark 

etadi,  X(t)dt  gateng,  bunda,  X(t)— ko'rilayotgan  oqimning  jadallik 

funksiyasi.  Apparatni  tark  etayotgan  zarralar  uchun  material  balans 

tenglamasini  tuzamiz.  Bir  tarafdan,  C  -   egri  chiziqning  mazmuni 

bo'yicha apparatdan  chiqishda zarrachalar ulushi,  t  va  t+dt  orasiga 

kirgan  yoshi  C(t)dtga  teng  yoki  hajmli  birliklarda,  vC(t)dt  (v  — 

apparatdan  hajmli  muhitning  sarfi).  Boshqa  tarafdan,  o ‘sha  miqdor 

VJ(t)  oqimning  miqdoriga  teng,  qaysiki  tizimni  t  momentgacha 

tark  etmadi  (Va  -   apparatning  hajmi),  t  yoshli  oqimning  ulushiga 

ko‘paytirilgan,  qaysiki  apparatni  quyidagi  (t,t + dt)  vaqt  ora!ig‘ida 

tark etadi,  X(t)dtteng.  Shunday qilib quyidagi bog‘liqlikni olamiz

vC(t)dt = VJ(t)X(t)dt 

(2.515)

Bu yerdan

m  = ~

 = ^ Jn(i!U )\ 

(2.516)

tl(t)  dt

V

bunda,  t=  —

v

Intcgrallab,  r

0 = 0

  da  p(t)  taqsimlanish  funksiyaning  zichligi 

uchun  ilgari topilgan  o‘xshash ifodali tenglamaga kelamiz:

181

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(2.517)