N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov


Aniq integral yordamida jismlar hajmini hisoblash



Download 0,98 Mb.
bet47/58
Sana26.01.2020
Hajmi0,98 Mb.
#37115
1   ...   43   44   45   46   47   48   49   50   ...   58
Bog'liq
INTEGRAL-HISOB


Aniq integral yordamida jismlar hajmini hisoblash. Maktab geometriyasidan biz faqat eng sodda jismlar bo‘lmish prizma, piramida, konus, silindr va shar hajmlarini hisoblash formulalarini bilamiz. Aniq integral yordamida bir qator murakkabroq jismlarning hajmini hisoblash imkoniyatiga ega bo‘lamiz.

  • Jism hajmini uning ko‘ndalang kеsimi yuzasi bo‘yicha hisoblash. Bizga biror J jism berilgan bo‘lib, uni OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar bilan kesganimizda hosil bo‘ladigan kеsimlarning yuzasi ma’lum va bu yuza biror uzluksiz S(x), x[a,b], funksiya orqali ifodalansin. Bu holda J jismning V hajmini topish masalasini qaraymiz. Buning uchun [а,b] kesmani

а=х0 <х1<х2< ∙∙∙<хi-1<хi< ∙∙∙<xn=b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz va bu nuqtalar orqali OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar o‘tkazamiz. Bu tеkisliklar jismni Ji (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarga ajratadi. Bu qatlamlarning hajmlarini Vi (i=1, 2, ∙∙∙, n) deb belgilasak, unda izlangan V hajmni V=V1+V2+∙∙∙+Vn yig‘indi ko‘rinishida yozish mumkin. Yuqorida ko‘rsatilgan xi bo‘linish nuqtalari orqali hosil qilingan har bir [xi–1, xi] kesmachalardan (i=1, 2, ∙∙∙, n) ixtiyoriy bir ξi nuqtalarni tanlab olamiz. Endi Ji (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarning har birini balandligi xi =xi–xi–1, asosining yuzasi esa S(i) bo‘lgan silindrik jismlar bilan almashtiramiz. Bu holda ViS(i)xi taqribiy tenglik o‘rinli ekanligini nazarga olsak, yuqoridagi yig‘indidan





taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy tenglikda bo‘laklar soni n qanchalik katta va qanchalik kichik bo‘lsa, Vn yig‘indi izlanayotgan V hajm qiymatiga shunchalik yaqin bo‘ladi deb olish mumkin. Shu sababli J jismning hajmi V yuqoridagi Vn yig‘indilar ketma-ketligining n→∞, Δn→0 bo‘lgandagi limiti deb olinadi. Unda Vn yig‘indi S(x) funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi ekanligini hisobga olib va aniq integral ta’rifidan foydalanib, berilgan J jismning V hajmini uning ko‘ndalang kesimi yuzasi S(x) bo‘yicha hisoblash uchun quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:

. (8)

Misol sifatida asosining radiusi R, balandligi esa h bo‘lgan doiraviy konusning (79-rasmga qarang) V hajmini (8) formula yordamida topamiz.



Bunda ko‘ndalang kesimlar doiralardan iborat bo‘lib, ularning radiuslari r=Rx/h, x[0,h], funksiya bilan aniqlanadi. Demak, ko‘ndalang kesim yuzasi



S(x)=πr2=π(Rx/h)2

funksiya bilan ifodalanadi. Unda bu konus hajmi uchun, (8) tenglikka asosan,



formulaga , ya’ni bizga maktabdan tanish bo‘lgan natijaga kelamiz.



  • Aylanma jismlarining hajmini hisoblash. Endi у=f(x), x[a,b], funksiya grafigi orqali hosil qilingan egri chiziqli trapetsiyaning OX koordinata o‘qi atrofida aylanishdan hosil bo‘lgan J aylanma jismning (80-rasmga qarang) V hajmini topish masalasini ko‘ramiz.


Bunda aylanma jismning ko‘ndalang kesimlari doiralardan iborat bo‘lib, ularning yuzasi S(х)=f 2(x) funksiya bilan ifodalanadi. Demak, (8) formulaga asosan, aylanma jism hajmi V uchun ushbu formulaga ega bo‘lamiz:

. (9)

Misol sifatida oldin ko‘rib o‘tilgan doiraviy konusning hajmini yana bir marta hisoblaymiz. Bu konusni uning y=Rx/h tenglamali yasovchisini OX koordinata o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan aylanma jism deb qarash mumkin ya shu sababli, (9) formulaga asosan,



natijaga, ya’ni oldin hosil qilingan formula o‘rinli ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.



Yana bir misol sifatida yarim o‘qlari a va b bo‘lgan ellipsni OX o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladigan ellipsoidning hajmini topamiz. Ellipsning kanonik tenglamasidan (V bob,§3, (7))

ekanligini topamiz. Bu natijani (7) formulaga qo‘yib, ellipsoidning V hajmini hisoblaymiz:



.

Agar bunda a=b=R deb olsak, unda ellipsoid radiusi R bo‘lgan sharga aylanadi va bu holda sharning halmi uchun yuqoridagi natijadan bizga maktabdan tanish bo‘lgan V=R3/3 formula kelib chiqadi.



    1. Download 0,98 Mb.

      Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   43   44   45   46   47   48   49   50   ...   58




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish